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/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 12960 < prev    next >
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Text File  |  1992-10-09  |  2.6 KB  |  81 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!pipex!pavo.csi.cam.ac.uk!camcus!gjm11
  3. From: gjm11@cus.cam.ac.uk (G.J. McCaughan)
  4. Subject: Re: Hint?
  5. Message-ID: <1992Oct9.063800.8224@infodev.cam.ac.uk>
  6. Sender: news@infodev.cam.ac.uk (USENET news)
  7. Nntp-Posting-Host: apus.cus.cam.ac.uk
  8. Organization: U of Cambridge, England
  9. References: <Bvtw1A.3y3@acsu.buffalo.edu>
  10. Date: Fri, 9 Oct 1992 06:38:00 GMT
  11. Lines: 68
  12.  
  13. In article <Bvtw1A.3y3@acsu.buffalo.edu>, adumi-v@acsu.buffalo.edu (virgil adumitroaie) writes:
  14. > 
  15. > 
  16. > 
  17. > 
  18. >     I wonder if somebody could give me a hand in solving
  19. > an easy problem, which I did it once some time ago, but it
  20. > seems that it doesn't work anymore (and I threw away the
  21. > scratch notes).
  22. > 
  23. > The problem is to demonstrate the tensorial relation
  24. > 
  25. >   E   E   = d  d  - d  d
  26. >    ijk pqk   ip jq   iq jp
  27. > 
  28. > where E is the alternating tensor and d the Kronecker tensor.
  29.  
  30. Uggh...
  31. Well, here's a horrible way to look at it.
  32. If i=j or p=q 
  33.   the LHS is a sum of zero terms, and 
  34.   the RHS is zero by symmetry.
  35. If {i,j} != {p,q} 
  36.   the LHS is a sum of zero terms, and 
  37.   the RHS is zero because one of each pair of d's is zero.
  38. If {i,j} = {p,q}
  39.   the LHS has only one non-zero term: +-1 depending on order of i,j/p,q, and
  40.   the RHS is +-1 depending on order of i,j/p,q.
  41.  
  42. Of course this isn't what you wanted; let's see if we can get anywhere with your
  43. matrix method.
  44.  
  45. I'll write just ij for d_{ij} etc, to save space. Also, the summation convention
  46. is suspended until further notice.
  47. So, E_{ijk}.E_{pqk} is the determinant of
  48.  
  49.     ii ij ik         pi pj pk
  50.     ji jj jk  times  qi qj qk
  51.     ki kj kk         ki kj kk,
  52.  
  53. i.e. of
  54.  
  55.     ii.pi+ij.qi+ik.ki  ii.pj+ij.qj+ik.kj  ii.pk+ij.qk+ik.kk
  56.     ji.pi+jj.qi+jk.ki  ji.pj+jj.qj+jk.kj  ji.pk+jj.qk+jk.kk
  57.     ki.pi+kj.qi+kk.ki  ki.pj+kj.qj+kk.kj  ki.pk+kj.qk+kk.kk
  58.  
  59. i.e. of  (note: now "abc" will mean "d_{ab}.d_{bc}", which is 1 iff a=b=c)
  60.  
  61.     pi+ijq+ik     pj+ijq+ijk    pk+ij.qk+ik
  62.     ijp+iq+ijk    ijp+jq+jk     ij.pk+qk+jk
  63.     ipk+iq.jk+ik  ik.pj+jqk+jk  ipk+jqk+1
  64.  
  65. i.e. of ... oh, this is just getting too horrible. Are you sure you ever
  66. got it to work? (I'm perfectly certain it will if one has the patience to
  67. grind through it, but it doesn't look like it's going to be much fun!)
  68.  
  69. Perhaps we can use that identity you mention without bringing matrices
  70. into it.
  71.  
  72. E_{ijk}E_{pqk} = sum over k of [ek.(ei x ej)] [ek.(ep x eq)]
  73.  
  74. ... doesn't look like it's going to simplify in any very nice way.
  75. Well, I give up on this one anyway. The proof I gave above is good enough
  76. for me!
  77.    
  78. --
  79. Gareth McCaughan     Dept. of Pure Mathematics & Mathematical Statistics,
  80. gjm11@cus.cam.ac.uk  Cambridge University, England.    [Research student]
  81.