home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 12939 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-10-09  |  3.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!know!cass.ma02.bull.com!think.com!yale.edu!jvnc.net!darwin.sura.net!gatech!concert!rock!taco!grad07.math.ncsu.edu!gagibson
  2. From: gagibson@grad07.math.ncsu.edu (Gregory A. Gibson)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Question on real numbers
  5. Message-ID: <1992Oct8.220840.9952@ncsu.edu>
  6. Date: 8 Oct 92 22:08:40 GMT
  7. References: <1992Oct8.211117.19295@rz.uni-karlsruhe.de>
  8. Sender: news@ncsu.edu (USENET News System)
  9. Organization: NCSU Mathematics Dept.
  10. Lines: 58
  11.  
  12. In article <1992Oct8.211117.19295@rz.uni-karlsruhe.de> vhansen@ipfs.bau-verm.uni-karlsruhe.de (Wolfgang von Hansen) writes:
  13. >Hi everybody,
  14. >
  15. >is it possible to express any real number x with the following term
  16. >
  17. >x = a + rb;  a, b \in Q; r \in R, r const.
  18. >
  19. >Some more words to explain what I mean:
  20. >I was wondering if there is an analogon between the real numbers and
  21. >the complex numbers.
  22. >
  23. >It is well known that any complex number c can be
  24. >written as an ordered pair of real numbers a, b: c = (a, b).
  25. >Operations can be done by using i := (0, 1) to write c = a + ib. 
  26. >Knowing that i * i = -1 one can perform complex arithmetics by using
  27. >only the rules for real numbers.
  28. >
  29. >My idea is to write any real number as a pair of rational numbers
  30. >one of them multiplied with a constant real number r (see above).
  31. >a is not necessarily (spelling? ;-) different from null. A useful value
  32. >for r may be \sqrt(n), n \in N, because r * r = n is easy to handle.
  33. >This representation of the real numbers might improve the speed
  34. >and/or accuracy of algorithms on computers since all calculations are
  35. >done with rational numbers.
  36. >
  37. >There are some things left to do:
  38. >1. Proove if it is (not) possible.
  39. >2. Find a good value for r. (How many different values for r are
  40. >   existing? none, one, finite, infinite?)
  41. >3. Find algorithm(s) to convert real numbers.
  42. >
  43. >I'd be very happy if someone could give me some hints how to deal with
  44. >these tasks. I'm afraid that there are some non-trivial problems
  45. >to solve.
  46. >
  47. >Thanks for paying attention, Wolfgang
  48.  
  49.   
  50.          The concept that you are looking for is that of a field   
  51.   extension of the rational numbers.  For example, the set of all
  52.   numbers of the form q1 + q2*sqrt(2) is a field( a set of numbers
  53.   which is closed under arithmetic, +,- ,*,/ ) denoted Q(sqrt(2)).
  54.          The problem with your plan is that the rationals are countable,
  55.   so for any r in R, the set of numbers of the form q1 + q2*r is also
  56.   a countable set.  The reals are not countable, so this set can not
  57.   contain all real numbers.  By countable I mean any set which can be
  58.   put into a one to one correspondence with the Natural numbers, 
  59.   { 1, 2, 3, ... }.  So I'm afraid your idea won't work.  It is possible,
  60.   to have computers sovle problems exactly using this sort of scheme
  61.   if all of the numbers involved are in some extension field of the
  62.   rationals and the only operations are +, - , *, and /.  If you need
  63.   to take square roots or something like that then the result could be a
  64.   real number which is not in your extension field.  
  65.          For further info. on extension fields you should consult a text
  66.   on basic abstract algebra.  I hope this helps.
  67.  
  68.         -- Greg Gibson
  69.      
  70.