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Text File  |  1992-09-08  |  2.4 KB  |  55 lines
  1. Newsgroups: sci.math.research
  2. Path: sparky!uunet!cis.ohio-state.edu!zaphod.mps.ohio-state.edu!moe.ksu.ksu.edu!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!usenet
  3. From: anq@maths.warwick.ac.uk (Anthony Quas)
  4. Subject: Expanding Maps
  5. Nntp-Posting-Host: sowe
  6. Message-ID: <1992Sep7.114212.428@dcs.warwick.ac.uk>
  7. Sender: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  8. X-Submissions-To: sci-math-research@uiuc.edu
  9. Organization: Mathematics Institute, University of Warwick, UK.
  10. X-Administrivia-To: sci-math-research-request@uiuc.edu
  11. Approved: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  12. Date: Mon, 7 Sep 1992 11:42:12 GMT
  13. Lines: 40
  14.  
  15. I am considering the problem of expanding maps from the circle to itself.
  16. For f to be expanding, I mean that f is C^1 and |f'(x)| >= K >1 for all x
  17. in S^1. Such maps may be "lifted" to the interval, where they become
  18. piecewise expanding, once-differentiable maps of the interval, whose
  19. branches map onto the whole interval.
  20.  
  21. If the map f is C^2 or even C^(1+\alpha) (i.e. its derivative is Hoelder
  22. continuous), then it is known, using the theory of Lasota-Yorke and others
  23. that the map has an Absolutely Continuous Invariant Probability Measure
  24. (ACIPM) (with respect to Lebesgue measure) and that this measure is unique.
  25.  
  26. In the case where the map is C^1, there need not be an ACIPM, as shown
  27. in the paper of Gora and Schmitt in Ergodic Theory and Dynamical Systems
  28. (1988?).
  29.  
  30. I am interested in the case where the map is C^1 and preserves Lebsegue
  31. measure. The question which I want to answer is whether this probability
  32. measure is unique (i.e. whether in that case, Lebsegue measure is ergodic).
  33.  
  34. I have some partial results. These are the following:
  35. For C^0 maps, expanding can be defined that all sufficiently small distances
  36. are expanded by a factor uniformly bounded below by some K>1. One can then
  37. ask if a C^0 expanding map of the circle which preserves Lebesgue measure
  38. can have more than 1 ACIPM. The answer to this is yes, it may have more
  39. than 1 ACIPM. My example has a Cantor set C of positive measure such that
  40. f(C) is contained in C. I have shown that this cannot arise for C^1 maps.
  41. I would be happy to show the proofs to anyone interested.
  42.  
  43. I should be extremely interested to hear of any comments or suggestions
  44. which people may have with this problem, as I am fairly stuck with it.
  45.  
  46. Thanks in advance!
  47.  
  48. Anthony Quas                     anq@maths.warwick.ac.uk
  49. Maths Institute
  50. University of Warwick
  51. Coventry CV4 7AL
  52. ENGLAND
  53.  
  54.  
  55.