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/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11519 < prev    next >
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Text File  |  1992-09-15  |  2.6 KB  |  57 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!gatech!news.byu.edu!ux1!mica.inel.gov!guinness!opal.idbsu.edu!holmes
  3. From: holmes@opal.idbsu.edu (Randall Holmes)
  4. Subject: Re: ZFC etc. (was Re: Report on Philosophies of Physicists)
  5. Message-ID: <1992Sep15.231019.18387@guinness.idbsu.edu>
  6. Sender: usenet@guinness.idbsu.edu (Usenet News mail)
  7. Nntp-Posting-Host: opal
  8. Organization: Boise State University Math Dept.
  9. References: <716501145.10401@minster.york.ac.uk> <1992Sep15.184930.10080@guinness.idbsu.edu> <COLUMBUS.92Sep15171406@rachmaninoff.think.com>
  10. Date: Tue, 15 Sep 1992 23:10:19 GMT
  11. Lines: 44
  12.  
  13. In article <COLUMBUS.92Sep15171406@rachmaninoff.think.com> columbus@rachmaninoff.think.com (Michael Weiss) writes:
  14. >In article <1992Sep15.184930.10080@guinness.idbsu.edu>
  15. >holmes@opal.idbsu.edu (Randall Holmes) answers the question:
  16. >   >
  17. >   >Are the proofs by Cohen and Godel are formal proofs? (I would think
  18. >   >so.) Can we identify the formal system in which the proofs were
  19. >   >performed?
  20. >
  21. >thus:
  22. >
  23. >   They are rigorous arguments.  No one ever does proofs in formal
  24. >   systems, in practice.  The Godel proof is a construction in ZF (normal
  25. >   set theory without choice).  The Cohen proof is a construction in ZFC
  26. >   (Choice is used, I believe).
  27. >
  28. >The relative consistency results of Godel and Cohen can be regarded as
  29. >purely combinatorial statements about pushing symbols around,
  30. >and as such can be expressed in the language of Peano arithmetic.
  31. >
  32. >In principle, the proofs of these relative consistency statements could be
  33. >carried out in Peano arithmetic.  Cohen discusses this briefly in the last
  34. >chapter of his book "Set Theory and the Continuum Hypothesis".
  35. >I believe the treatment in Shoenfield's book "Mathematical Logic" makes the
  36. >same point.
  37.  
  38. I know that, and I thought of pointing it out, but I think it would be
  39. deceptive to say that Godel and Cohen carried out their arguments in PA.
  40.  
  41. >
  42. >In practice, the proofs become far more intuitive if we adopt a less
  43. >puritan attitude, and talk about models of ZF.  Cohen makes free use of
  44. >axiom SM (="there exists a model of ZF whose universe is a set and whose
  45. >element-of relation is the standard element-of relation".)  Cohen proves
  46. >with ZF+V=L+SM that there is (for example) a model of ZFC + not CH.
  47. >Naturally this implies the relative consistency result, Con(ZF) -->
  48. >Con(ZFC+not CH).  But if all you want is the relative consistency result,
  49. >then a much weaker set of axioms (such as Peano arithmetic) will do.
  50.  
  51.  
  52. -- 
  53. The opinions expressed        |     --Sincerely,
  54. above are not the "official"    |     M. Randall Holmes
  55. opinions of any person        |     Math. Dept., Boise State Univ.
  56. or institution.            |     holmes@opal.idbsu.edu
  57.