home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11510 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-09-15  |  1.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!elroy.jpl.nasa.gov!news.claremont.edu!ucivax!news.service.uci.edu!beckman.com!dn66!a_rubin
  2. Newsgroups: sci.math
  3. Subject: Re: Functional Equation
  4. Message-ID: <a_rubin.716591769@dn66>
  5. From: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (Arthur Rubin)
  6. Date: 15 Sep 92 21:16:09 GMT
  7. References: <424@nttcvg.ntt.JP>
  8. Distribution: sci.math
  9. Nntp-Posting-Host: dn66.dse.beckman.com
  10. Lines: 35
  11.  
  12. In <424@nttcvg.ntt.JP> herve@nttcvg.NTT.JP (Herve Delingette) writes:
  13.  
  14.  
  15. >I would like to find all the functions f C1 continuous such that :
  16.  
  17. >f'(x)= [f(x+ x0)-f(x-x0)]/2x0 where f'(x) is the derivative of f
  18. >and where x0 is a real number ..
  19.  
  20. >I am pretty sure that the only solutions are the linear functions 
  21. >f(x)=ax+b but I am not sure.
  22.  
  23. >Please answer at herve@nttcvg.ntt.jp
  24.  
  25. Still looks like homework, but the answer is:
  26.  
  27. If x0 can vary, then differentiating the equation
  28.  
  29. 2x0 f'(x) = f(x+x0) + f(x-x0) by x0, we get
  30.  
  31. 2 f'(x) = f'(x+x0) + f'(x-x0),
  32.  
  33. so f' must be linear, and f must be quadradic.  Evaluating, we determine
  34. that f must be linear.
  35.  
  36. If x0 is fixed, then let c=a+ib be a solution of sinh(c) = c.  (They DO
  37. exist.)  Then 
  38.  
  39. f(x) = (E^(a x/x0)) cos(b x/x0)
  40.  
  41. is a solution.
  42. --
  43. Arthur L. Rubin: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (work) Beckman Instruments/Brea
  44. 216-5888@mcimail.com 70707.453@compuserve.com arthur@pnet01.cts.com (personal)
  45. My opinions are my own, and do not represent those of my employer.
  46. My interaction with our news system is unstable; please mail anything important.
  47.