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/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11483 < prev    next >
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Text File  |  1992-09-15  |  2.2 KB  |  43 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!newsgate.watson.ibm.com!yktnews!admin!platt
  3. From: platt@watson.ibm.com (Daniel E. Platt)
  4. Subject: Re: Lebesgue integral (was: Couple of questions
  5. Sender: news@watson.ibm.com (NNTP News Poster)
  6. Message-ID: <1992Sep15.153811.17326@watson.ibm.com>
  7. Date: Tue, 15 Sep 1992 15:38:11 GMT
  8. Disclaimer: This posting represents the poster's views, not necessarily those of IBM
  9. References: <1992Sep10.173619.24343@galois.mit.edu> <12tnxa#.kmc@netcom.com> <1992Sep11.130033.26063@watson.ibm.com> <1992Sep15.020445.26398@unixg.ubc.ca>
  10. Nntp-Posting-Host: multifrac.watson.ibm.com
  11. Organization: IBM T.J. Watson Research Center
  12. Lines: 29
  13.  
  14. In article <1992Sep15.020445.26398@unixg.ubc.ca>, ramsay@unixg.ubc.ca (Keith Ramsay) writes:
  15. |> In article <1992Sep11.130033.26063@watson.ibm.com> 
  16. |> platt@watson.ibm.com (Daniel E. Platt) writes:
  17. |> [...taking out some layers of quotes...]
  18. |> |> In other words, how badly would you miss them if you threw out the
  19. |> |> non-Riemann-square-integrable functions from L^2(R^3)?
  20. |> ...
  21. |> |I think you would end up flat on your back.  The problem is that many
  22. |> |(most) of the techniques revolving around Fourier series and
  23. |> |integrals, completeness of a basis, etc, ultimately involve being able
  24. |> |to evaluate 'improper' integrals as a limit of an integral of a
  25. |> |sequence of functions.
  26. |> 
  27. |> I've heard that much (nearly all, perhaps) of what is done with L^2,
  28. |> regarded as Lebesgue square-integrable functions, modulo functions
  29. |> supported on sets of measure zero, is just as nicely done (if not
  30. |> better) by regarding L^2 as the formal completion (relative to the L^2
  31. |> norm) of a convenient dense subset (where the Lebesgue measure theory
  32. |> is not needed). I'm not enough of an analyst to confirm this.
  33.  
  34. That's true if you are only talking about proving convergences; if you
  35. want to get more formal about how/why Dirac delta's work/what they mean,
  36. and how the broad diversity of the limits under the integral work, then
  37. some comment should be made about the added convergence that Lebesgue
  38. offers that Reimann doesn't.  Most of the time, physics majors play
  39. with these delta 'functions' and don't even realize they aren't functions
  40. per se.  When something acts pathological, they don't know why.
  41.  
  42. Dan
  43.