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/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11323 < prev    next >
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Text File  |  1992-09-12  |  2.0 KB  |  45 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!gatech!utkcs2!utkux1.utk.edu!utkvx1.utk.edu!dchatham
  3. From: dchatham@utkvx1.utk.edu (Chatham, Doug)
  4. Subject: Re: Foundational issues
  5. Message-ID: <12SEP199214515040@utkvx1.utk.edu>
  6. News-Software: VAX/VMS VNEWS 1.41    
  7. Sender: usenet@utkux1.utk.edu (USENET News System)
  8. Organization: University of Tennessee Computing Center
  9. References: <92Sep12.101940edt.47512@neat.cs.toronto.edu>
  10. Distribution: na
  11. Date: Sat, 12 Sep 1992 19:51:00 GMT
  12. Lines: 31
  13.  
  14. In article <92Sep12.101940edt.47512@neat.cs.toronto.edu>,
  15.  arnold@cs.toronto.edu (Arnold Rosenbloom) writes...
  16. [Introduction and signature deleted]
  17.  
  18. >First the number theory text assumes the Peano Axioms, now if we
  19. >view these axioms as the specification of a particular set, how
  20. >do we know that we have a well defined system. For example, the Peano
  21. >axioms assume the existence of a successor function that behaves in a certain
  22. >way. How do we know there is a subset of NxN which has the required properties.
  23. > 
  24. >The other side (set theory) of the coin also presents some problems. 
  25. >THat is, the natural
  26. >numbers are 'defined' as 0={}, 1={0}, 2={0,1}, ... , n+1={0,...,n}.
  27. >But this looks like an inductive definition. So how can you make an inductive
  28. >definition (and hope it makes sense) without the natural number system already
  29. >there to prove that you have actually defined something?
  30.  
  31.     I'm not sure what you mean by "well defined system."  However, the 
  32. reason we "know" the existence of a successor function is that we ASSUMED it. 
  33. Unfortunately, according to Godel we cannot prove the consistency of a
  34. number theory including the Peano axioms [without bringing in some larger
  35. formal system whose consistency would be unprovable without . . .ad nauseaum,
  36. ad infinitum].  So we can't prove the successor function won't cause a 
  37. contradiction somehow.
  38.     Secondly, to make inductive definitions we need to ASSUME the 
  39. existence of at least one inductive set.  ZF (Zermelo-Frankel?) set theory
  40. makes this assumption an explicit axiom.
  41.     I hope this helps.
  42.  
  43.             Sincerely,
  44.             Doug Chatham    
  45.