home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11225 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-09-10  |  1.1 KB  |  42 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!brunix!brunix!dzk
  3. From: dzk@cs.brown.edu (Danny Keren)
  4. Subject: Re: help me, please
  5. Message-ID: <1992Sep10.195359.4738@cs.brown.edu>
  6. Sender: news@cs.brown.edu
  7. Organization: Brown University Department of Computer Science
  8. References: <1992Sep9.135741.4324@bnlux1.bnl.gov>
  9. Date: Thu, 10 Sep 1992 19:53:59 GMT
  10. Lines: 30
  11.  
  12. kyee@bnlux1.bnl.gov (kenton yee) writes:
  13. #I need to figure out what the following integral is:
  14. #
  15. #  int dx_1 dx_2 ... dx_N  1    =   ??
  16. #
  17. #where  0 < x_i < 1    subject to the condition  
  18. #   
  19. #  x_1 + x_2 + ... + x_N  is less than or equal to 1.  
  20.  
  21. I guess you could compute the integral, but there is a cute 
  22. geometric solution. Define two sets:
  23.  
  24. S1 = {(x1,x2....xn)/xi>=0, x1+x2+...xn<=1}
  25.  
  26. S2 = {(x1,x2....xn)/0<=x1<=x2...<=xn<=1}
  27.  
  28. What you are asking is the volume of S1. Now, look at the following
  29. transformation from S1 to S2:
  30.  
  31. (x1,x2,....xn) ----> (x1,x1+x2,x1+x2+x3,...x1+x2+...+xn)
  32.  
  33. it is trivial that it is 1-1 and onto; also, its determinant is 1,
  34. so it preserves volume. Its also trivial that the volume of
  35. S2 is 1/n! (symmetry considerations) so your integral is equal
  36. to 1/n! .
  37.  
  38. -Danny Keren.
  39.  
  40.  
  41.  
  42.