home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11224 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-09-10  |  1.5 KB  |  41 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!pacific.mps.ohio-state.edu!linac!mp.cs.niu.edu!rusin
  3. From: rusin@mp.cs.niu.edu (David Rusin)
  4. Subject: Re: A tarnished Gaussian sum?
  5. Message-ID: <1992Sep10.193634.18529@mp.cs.niu.edu>
  6. Organization: Northern Illinois University
  7. References: <1992Sep10.151807.25693@tdb.uu.se>
  8. Date: Thu, 10 Sep 1992 19:36:34 GMT
  9. Lines: 30
  10.  
  11. In article <1992Sep10.151807.25693@tdb.uu.se> matsa@tdb.uu.se (Mats Andersson) writes:
  12. >
  13. >Let p be a prime and w a pth root of unity. Does there always exist a k
  14. >such that
  15. >
  16. >    (1-w)(1-w^2)...(1-w^((p-1)/2)) = w^k * Gaussian sum ?
  17.  
  18. Let Z be the left side. Then if Z* is its complex conjugate, 
  19.  
  20. Z*=(1-w^(-1))...(1-w^((p+1)/2))=(1-w^((p+1)/2)...(1-w^(p-1)),
  21.  
  22. so  Z.Z* is the product of all conjugates of (1-w); that is, you let
  23. x=1 in the polynomial \Prod (x-w^j) = 1+x+...+x^(p-1): Z.Z*=p.
  24. Thus certainly  Z  is \sqrt(p) times a complex number of norm 1.
  25.  
  26. On the other hand, (1-w^(2j)) = w^j . (w^(-j)-w^j)  and similarly
  27. (1-w^(2j+1))=(w^p-w^(2j+1))=w^p.(1-w^(2j+1-p)) can be factored in the
  28. form w^something.(w^a-w^(-a)). So if you collect all the factors in
  29. Z you get a big power of w times a product of terms (w^a-w^(-a)),
  30. all of which are purely imaginary. So  Z  is of the form
  31. (power of  w ) . (i ^ (p-1)/2)) . real.
  32.  
  33. So up to powers of  w  this product  Z  is just  i^((p-1)/2) . sqrt(p).
  34.  
  35. dave  rusin@math.niu.edu
  36.  
  37. PS - yes, I think there is a way to decide on the signs in the square root
  38. but I forget what it is.
  39.  
  40.  
  41.