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/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11180 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-09-09  |  2.2 KB
  1. Path: sparky!uunet!sun-barr!cs.utexas.edu!swrinde!sdd.hp.com!spool.mu.edu!uwm.edu!psuvax1!rutgers!uwvax!jalapeno.cs.wisc.edu!bach
  2. From: bach@jalapeno.cs.wisc.edu (Eric Bach)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Couple of questions
  5. Message-ID: <1992Sep9.221626.686@cs.wisc.edu>
  6. Date: 9 Sep 92 22:16:26 GMT
  7. References: <1992Sep9.102457.15049@news.columbia.edu> <18lnpiINN1qk@agate.berkeley.edu>
  8. Sender: news@cs.wisc.edu (The News)
  9. Organization: University of Wisconsin, Madison -- Computer Sciences Dept.
  10. Lines: 35
  11.  
  12. In article <18lnpiINN1qk@agate.berkeley.edu> mazzarel@wish-bone.berkeley.edu (Ariel Mazzarelli) writes:
  13. >In article <1992Sep9.102457.15049@news.columbia.edu> pvl2@cunixb.cc.columbia.edu (Priscilla V Loanzon) writes:
  14. >>Could someone please explain to me a few basic things:
  15. >>
  16. >>What is the logic used to answer questions of the below type?
  17. >>
  18. >>1) If the finite group G contains a subgroup of order 7 but no element
  19. >>(other than the identity) is its own inverse then the order of group G
  20. >>could be (a)27   (b)28   (c)35   (d)37   (e)42.
  21.  
  22. Since this is from an ETS test, we can eliminate (a) using the following 
  23. principle: if you can get one of the answers by naively combining some of the 
  24. numbers in the problem, that answer has to be wrong.  The question tells
  25. us implicitly there is no element of order 2 (x^{-1} = x ==> x^2 = 1), and we 
  26. know there is one of order 7, so 27 is out.
  27.  
  28. 37 is out because it is a prime having nothing to do with the numbers
  29. in the question (remember this is group theory, divisibility is important).
  30.  
  31. This leaves 35 and 42 as the only plausible contenders; at this point it
  32. is worthwhile to bring in some actual algebra.  Suppose x^2 = 1 in a group
  33. of size 35.  Raise both to the 18th power, to get x^{2*18} = x^36 = 1.
  34. So there are no elements of order 2 in a group of size 35, hence we
  35. know in our heart that 35 is the answer.
  36.  
  37. To *prove* that 35 is the answer, use Lagrange's theorem (the order
  38. of a subgroup divides the order of the group) and Cauchy's theorem
  39. (if a prime divides the order of the group, there has to be an element
  40. of that order).  ETS probably wants you to do it that way.
  41.  
  42. Everyone who is studying for the GRE should read "None of the Above,"
  43. by David Owen.
  44.  
  45. --Eric Bach
  46.   bach@cs.wisc.edu
  47.