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/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11143 < prev    next >
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Text File  |  1992-09-08  |  2.1 KB  |  47 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!snorkelwacker.mit.edu!galois!riesz!jbaez
  3. From: jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez)
  4. Subject: Re: measures of the `size' of infinite sets
  5. Message-ID: <1992Sep9.042345.7472@galois.mit.edu>
  6. Sender: news@galois.mit.edu
  7. Nntp-Posting-Host: riesz
  8. Organization: MIT Department of Mathematics, Cambridge, MA
  9. References: <1992Sep8.134624.11005@newstand.syr.edu>
  10. Date: Wed, 9 Sep 92 04:23:45 GMT
  11. Lines: 34
  12.  
  13. In article <1992Sep8.134624.11005@newstand.syr.edu> hgraber@lynx.cat.syr.edu (Harry Graber) writes:
  14.  
  15. >     An associate of mine here tells me that there are other measures that
  16. >have been devised for the size of an infinite set.  Some of these measures
  17. >give a different result, and agree with our `intuitive' position that the set
  18. >of multiples of 29 is in some definite sense smaller than the set of numbers
  19. >that are not multiples of 29.  However, this is an area neither of us has
  20. >specialized in.  I never knew that these other measures even existed, and he
  21. >had heard of them but is not able to tell me what any of them is.  
  22.  
  23. Well, there are various ways of keeping track of the "size" of infinite
  24. sets, depending on the context.  One branch of math that specializes
  25. this is called measure theory.  The simplest example of that is the fact
  26. that a line segment which is twice as long as another has twice the
  27. "measure," even though by Cantor's definition they have the same number
  28. of points.  But for your problem the best answer involves not measure
  29. but "density".  Given a set of integers, we calculate its density as
  30. follows.  Figure out how many integers in your set lie between -n and n
  31. - say that m do.  Take the ratio n/2m ... this just tells us what
  32. fraction of the integers between -n and n lie in your set.  Now take the
  33. limit as n goes to infinity!  If the limit exists and equals d (some
  34. number between 0 and 1), we say your set has density d.
  35.  
  36. The set of integers that are multiples of 29 has density 1/29.
  37. The set of integers that aren't has density 28/29.
  38.  
  39. Exercise to see if you get it: figure out, or guess, the density of the
  40. prime numbers.
  41.  
  42.  
  43.  
  44.  
  45.  
  46.  
  47.