home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11020 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-09-07  |  2.3 KB
  1. Path: sparky!uunet!pipex!unipalm!uknet!pavo.csi.cam.ac.uk!camcus!gjm11
  2. From: gjm11@cus.cam.ac.uk (G.J. McCaughan)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Help with Calculus
  5. Message-ID: <1992Sep4.214816.22940@infodev.cam.ac.uk>
  6. Date: 4 Sep 92 21:48:16 GMT
  7. References: <18531.2aa39479@levels.unisa.edu.au>
  8. Sender: news@infodev.cam.ac.uk (USENET news)
  9. Organization: U of Cambridge, England
  10. Lines: 41
  11. Nntp-Posting-Host: bootes.cus.cam.ac.uk
  12.  
  13. In article <18531.2aa39479@levels.unisa.edu.au>, 8321207d@levels.unisa.edu.au writes:
  14.  
  15. > 1)  Let Phi(a)=Int from 0 to Inf of [exp(-ax)*Sinx/x]dx. Explain briefly
  16. >     why it is plausible to write Phi(a)=Pi/2 - ArcTan a. Could this 
  17. >     result be used to evaluate Int from 0 to Inf of [Sinx/x]dx ?
  18.  
  19. Well, how about differentiating under the integral sign? You get (d/da)Phi
  20. equal to integral of -x.exp(-ax).sin(x)/x dx
  21.        = integral of -exp(-ax).sin(x) dx
  22. and you can do this, for instance, with complex numbers. (sin x is the imaginary
  23. part of exp(ix), so you want the imaginary part of the integral of -exp((a+i)x);
  24. this is dead easy.)
  25. Since you only ask for "Why it is plausible" I don't need to prove that it's
  26. *valid* to differentiate under the integral sign; but there are tests for when
  27. you can do it, and I'm sure one of them applies here...
  28.  
  29. Um, you still have to work out what the constant is; try letting a tend to
  30. infinity; then the integral tends to 0 because it is dominated by the integral
  31. of exp(-ax), which tends to 0.
  32.  
  33. If needed I can provide all the gory details.
  34.  
  35. > 2)  Let Psi(r)=Int from 0 to Inf of [Sin rx/x(1+x^2)]dx for r >= 0.
  36. >     Explain briefly why it is plausible to suggest that
  37. >     Psi''(r) - Psi(r) = Pi/2 with Psi(0)=0 and Psi'(0)=Pi/2. Hence
  38. >     deduce that Psi(r) = Pi/2*(exp(r) - 1).
  39.  
  40. Again, let's try differentiating under the integral sign.
  41. Psi'(r)  = integral of x.cos(rx)/x(1+x^2) dx
  42.          = integral of cos(rx)/(1+x^2) dx
  43. Psi''(r) = integral of x.-sin(rx)/(1+x^2) dx
  44.          = integral of -sin(rx).[x/(1+x^2)] dx.
  45. So Psi''-Psi = integral of sin(rx)/(1+x^2).[x+1/x] dx
  46.              = integral of sin(rx)/x dx
  47. and we know what this is by the previous part.
  48. The boundary conditions can't be hard. When r=0 the integrand for Psi is
  49. 0 everywhere, and that for Psi' is 1/(1+x^2); we know how to integrate that,
  50. or ought to.
  51.  
  52. Hope all this helps... Good luck with whatever further studies you're
  53. intending.
  54.