home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / logic / 1385 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-09-13  |  2.6 KB  |  52 lines
  1. Newsgroups: sci.logic
  2. Path: sparky!uunet!mcsun!sunic!sics.se!torkel
  3. From: torkel@sics.se (Torkel Franzen)
  4. Subject: Re: How does one formalize "small" mathematical theories?
  5. In-Reply-To: turpin@cs.utexas.edu's message of 13 Sep 1992 14:13:38 -0500
  6. Message-ID: <TORKEL.92Sep13222625@bast.sics.se>
  7. Sender: news@sics.se
  8. Organization: Swedish Institute of Computer Science, Kista
  9. References: <1903t2INNanu@cs.utexas.edu>
  10. Date: Sun, 13 Sep 1992 21:26:25 GMT
  11. Lines: 39
  12.  
  13. In article <1903t2INNanu@cs.utexas.edu> turpin@cs.utexas.edu (Russell Turpin)
  14.  writes:
  15.  
  16.    >For some theories, there are classical axiomatizations that stand
  17.    >apart from set theory, e.g., arithmetic, real algebra, and plane
  18.    >geometry.  Curiously, these all have intuitive axiomatizations
  19.    >that do not rely on sets, and at least in the case of arithmetic
  20.    >and plane geometry, axioms that were stated before set theory was
  21.    >developed.  But the "natural" axioms for groups seem to rely on
  22.    >sets: "a group is a *set* with a binary operator + such that ..."
  23.  
  24.   The concept of a group involves the notion of set, but the
  25. elementary group axioms don't rely on sets any more than the axioms of
  26. any other first order theory. If you want to talk about all models of
  27. the axioms of elementary arithmetic, or about all real-closed fields
  28. you will again speak of sets. In ordinary mathematics, one is very
  29. much concerned with general models of the elementary group axioms,
  30. which were introduced precisely to describe a structure common to many
  31. mathematical objects, but not with general models of the axioms of
  32. elementary arithmetic.
  33.  
  34.   Most group theory of course cannot be formulated within the elementary
  35. theory of groups, for the reason indicated above. If you want a theory
  36. weaker than ZFC within which e.g. the study of finite groups can be carried
  37. out, such theories have been formulated, and somebody more knowledgeable
  38. will be able to give a suitable reference.
  39.  
  40.   However, I wish to take issue with your statement that the classical
  41. axiomatizations of arithmetic, real algebra, or elementary geometry do
  42. not rely on sets. In each case the intuitive axiomatization does rely on
  43. some notion of set (of natural numbers, of real numbers, of points) -
  44. namely in the induction axiom or some continuity axiom (such as the
  45. completeness axiom for ordered fields). The corresponding first order
  46. theories are another matter. In the case of arithmetic, the first
  47. order theory is as we know incomplete, in the case of the real numbers,
  48. it turns out to be complete. But in both cases, the classical and
  49. intuitive axiomatization is the second order one.
  50.  
  51.  
  52.