home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / logic / 1356 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-09-08  |  2.9 KB
  1. Path: sparky!uunet!haven.umd.edu!darwin.sura.net!spool.mu.edu!agate!usenet.ins.cwru.edu!po.CWRU.Edu!cxm7
  2. From: cxm7@po.CWRU.Edu (Colin Mclarty)
  3. Newsgroups: sci.logic
  4. Subject: Re: Set of all sets + correcting MZ's syntax
  5. Date: 6 Sep 1992 18:11:55 GMT
  6. Organization: Case Western Reserve University, Cleveland, OH (USA)
  7. Lines: 61
  8. Message-ID: <18dhlbINN516@usenet.INS.CWRU.Edu>
  9. References: <4134@seti.UUCP>
  10. Reply-To: cxm7@po.CWRU.Edu (Colin Mclarty)
  11. NNTP-Posting-Host: slc12.ins.cwru.edu
  12.  
  13.  
  14. In a previous article, ziane@nuri.inria.fr (ziane mikal -) says:
  15.  
  16.               (much else deleted)
  17. >
  18. >Also, I don't know anything yet about categories. I have heard
  19. >though that the category of all the categories is not a pb.
  20. >Does category theory have similar paradoxes though ?
  21. >
  22. >
  23. >Mikal Ziane.
  24. >
  25.  
  26.     The category of categories is an open problem.  Set theoretic
  27. approaches to it are not promising.  I have a tiny note in _JSL_ _57_
  28. (pp.555-6) showing in effect that if you define categories set
  29. theoretically in a set theory which includes a set of all sets, then
  30. you can get an actual category of all categories but it will have
  31. such terrible properties as to be useless.  (That does not mean that 
  32. set theoretic considerations can not bear on the question, but 
  33. straightforward set theory will not solve it.)
  34.  
  35.     The category of categories can be approached categorically too.
  36. The classic source is by Lawvere, "The category of categories as
  37. a foundation for mathematics" in _Proc. of the La Jolla conference on
  38. Categorical Algebra", Springer-Verlag 1966 (pp.1-20).  More recently 
  39. there is my own "Axiomatizing a category of categories" in _JSL__56_
  40. (pp.1243-60).  Both briefly discuss what would be needed for "a
  41. category of ALL categories".
  42.  
  43.     On a categorical approach a "category of ALL categories"
  44. would presumably use Benabou's approach via fibrations (see Benabou 
  45. "Fibered categories and the foundations of naive category theory" 
  46. _JSL__50_ pp.10-37).  It would require a kind of universal fibration.  
  47. It would require a universe of categories and functions, one of whose 
  48. functors was a fibration such that:
  49.  
  50.     Every category in that universe is a fiber of that fibration
  51.  
  52.     Every functor in that universe appears as the functor
  53.         between fibers induced by some arrow of the base
  54.         of the fibration.
  55.  
  56. That second condition seems to me to want an elegant statement, and I
  57. don't have one for it.
  58.  
  59.     It seems very unlikely that such a "category of all
  60. categories" will give anything like a Russell's paradox--in part
  61. because we never say EXACTLY WHAT any category is MADE OF.  Such
  62. talk is nonsense on a categorical account.  So we can not define
  63. a paradoxical category by giving an impossible requirement on the
  64. categories and functors it should be MADE OF, the way we do for
  65. elements of the Russell set.
  66.  
  67.     Such a fibration might lead to some kind of cardinality
  68. paradox.  I am inclined to doubt it.  But I will speculate no more
  69. here.  The problem remains open--even as to its exact statment.
  70.  
  71. Colin McLarty
  72.  
  73.      
  74.