home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / stat / 1804 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-09-03  |  1.7 KB  |  37 lines
  1. Organization: Statistics, Carnegie Mellon, Pittsburgh, PA
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!cis.ohio-state.edu!news.sei.cmu.edu!fs7.ece.cmu.edu!crabapple.srv.cs.cmu.edu!andrew.cmu.edu!bj20+
  3. Newsgroups: sci.math.stat
  4. Message-ID: <Medg7tK00j4e4IMUVi@andrew.cmu.edu>
  5. Date: Thu,  3 Sep 1992 21:55:05 -0400 
  6. From: Brian Junker <bj20+@andrew.cmu.edu>
  7. Subject: Re: Simple Proof that c=median minimizes E[ |X-c| ] needed.
  8. In-Reply-To: <3SEP199213440863@utkvx2.utk.edu>
  9. References: <3SEP199213440863@utkvx2.utk.edu>
  10. Lines: 25
  11.  
  12. Here are some ideas off the top of my head, that should get you going in
  13. the right direction.  You will need some decent calculus skills, but
  14. that's about it. 
  15.  
  16. Case 1.  X is a real-valued continuous random variable with density f(x)
  17. such that xf(x) -> 0 as x -> +infinity and as x -> -infinity.  Write
  18. E[|X-c|] as the sum of two integrals, one going from -infinity to c and
  19. the other going from c to +infinity, where neither integral involves
  20. abs. val's anymore.  Differentiate this sum with respect to c and
  21. explore...
  22.  
  23. Case 2.  x_1, x_2, ... x_n are fixed real numbers (i.e. you have a
  24. sample of size n).  Then c=the sample median minimizes the sum of
  25. absolute deviations |x_1-c| + |x_2-c| + ... + |x_n-c|.  You can do the
  26. cases n=2, 3, and 4 "by hand" by graphing the sum of abs. deviations as
  27. a function of c---it is piecewise linear with bends at the data points
  28. x_1, x_2, ...  What do you have to do to give a rigorous proof for n
  29. data points now? 
  30.  
  31. Case 3.  X is a discrete random variable taking on the values x_1, x_2,
  32. .... with probabilities p_1, p_2, .... The ideas you explored above
  33. should be useful in proving that the median minimizes E[|X-c|] for this
  34. case.
  35.  
  36. -BJ
  37.