home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / stat / 1786 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-09-02  |  3.6 KB
  1. Path: sparky!uunet!stanford.edu!rutgers!news.cs.indiana.edu!umn.edu!thompson
  2. From: thompson@atlas.socsci.umn.edu (T. Scott Thompson)
  3. Newsgroups: sci.math.stat
  4. Subject: Re: Question on ratio estimate
  5. Message-ID: <thompson.715495148@kiyotaki.econ.umn.edu>
  6. Date: 3 Sep 92 04:39:08 GMT
  7. References: <huff-020992210907@pgl6.chem.nyu.edu> <87798@netnews.upenn.edu>
  8. Sender: news@news2.cis.umn.edu (Usenet News Administration)
  9. Reply-To: thompson@atlas.socsci.umn.edu
  10. Organization: Economics Department, University of Minnesota
  11. Lines: 86
  12. Nntp-Posting-Host: kiyotaki.econ.umn.edu
  13.  
  14. wangj@eniac.seas.upenn.edu (Jie Wang ) writes:
  15.  
  16. >Hi, there, could someone out there help me with the following
  17. >ratio estimate problem ? Any comments and/or references are
  18. >appreciated. Now the problem:
  19.  
  20. >Suppose {X(i)} and {Y(i)} are i.i.d. sequences respectively, but
  21. >X(i) and Y(i) may be correlated. Let m(x) and m(y) be the expected
  22. >values of X(i) and Y(i) repectively. We would like to estimate 
  23. >        m(x)
  24. >    R = ----.     We know that
  25. >        m(y)
  26.  
  27.  
  28. >    ^      [ sum_1_to_n X(i) ] / n
  29. >    R(n) = -----------------------  
  30. >               [ sum_1_to_n Y(i) ] / n
  31.  
  32. >is a consistent but biased estimator for R. Does anyone know of
  33. >any RIGOROUS treatment on the variance of this estimator ?
  34. >Particularly, I am interested in some sufficient conditions of X(i),Y(i),
  35. >that imply
  36. >                           ^
  37. >lim_n_to_infinity   n var( R(n) ) 
  38.  
  39. >         E(X**2)    E(Y**2)      E(X*Y)
  40. >= R**2 { -------  + ------- - 2--------- }.
  41. >         m(x)**2    m(y)**2    m(x)*m(y)
  42.  
  43. You can derive a closely related approximation using the "delta
  44. method."  Let {Z_i} be a sequence of i.i.d. random Kx1 vectors, with
  45. mean vector m, and finite covariance matrix V.  Let Zbar(n) be the
  46. vector of sample means of the first n elements of the {Z_i} sequence.
  47. Let g map K-dimensional space to J-dimensional space with J .LE. K,
  48. and let g be continuously differentiable on a neighborhood of m with G
  49. = g'(m).  Then by a Taylor expansion
  50.  
  51.     n^(1/2)*[ g(Zbar(n)) - g(m) ] = G*d + e
  52.  
  53. where   d = n^(1/2)[ Zbar(n) - m ]   and  e = o[ n^(-1/2)*|d| ].
  54.  
  55. By standard central limit theory d ---> Normal( 0, V ).  This in turn
  56. implies that e --> 0 in probability and G*d ---> Normal(0,W), where
  57.  
  58.          W = G*V*transpose(G)
  59.  
  60. Thus   n^(1/2)* [ g(Zbar(n)) - g(m) ] ---> Normal(0,W).
  61.  
  62. To apply this to your problem let K = 2, J = 1 and set 
  63. Z_i = (X_i,Y_i).  Set
  64.  
  65.     g(z) = z(1) / z(2)  so that G = [ 1 / m(y),  -m(x)/m(y)^2 ].
  66.  
  67. [Implicitly m(y) != 0.]  Then
  68.  
  69.      W = Var(X)/m(Y)^2 + Var(Y)*m(x)^2/m(y)^4 - 2*Cov(X,Y)*m(x)/m(y)^3
  70.  
  71.        = R^2 * [ Var(X)/m(x)^2 + Var(Y)/m(y)^2 - 2*Cov(X,Y)/(m(x)*m(y)) ]
  72.  
  73. which coincides (almost) with your formula.  (You incorrectly used the
  74. absolute second moments of X and Y instead of the variances and
  75. covariances.)
  76.  
  77. Applying the preceeding argument gives:
  78.  
  79.                       ^
  80. (*)        n^(1/2)* [ R(n) - R ] ---> Normal( 0, W ) in distribution
  81.  
  82. as n -> infinity.  Most likely this is the result that you really
  83. want.  It is all that is needed for construction of an asymptotically
  84. valid confidence interval or test statistic, for example.
  85.  
  86. The result that you asked for, namely
  87.  
  88.                    ^
  89.             n Var( R(n) ) ---> W  as n -> infinity
  90.  
  91. does not follow from (*) unless you make stronger assumptions.  Indeed
  92. (*) will be true in cases where the variance of your estimator does
  93. not exist for any value of n.
  94.  
  95. I have said enough.  Who wants to fill in the rest?
  96. --
  97. T. Scott Thompson              email:  thompson@atlas.socsci.umn.edu
  98. Department of Economics        phone:  (612) 625-0119
  99. University of Minnesota        fax:    (612) 624-0209
  100.