home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / research / 419 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-25  |  1.9 KB  |  52 lines
  1. Newsgroups: sci.math.research
  2. Path: sparky!uunet!wupost!sdd.hp.com!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!usenet
  3. From: israel@unixg.ubc.ca (Robert B. Israel)
  4. Subject: Re: Borel measure question
  5. References: <17dh96INN35s@function.mps.ohio-state.edu>
  6. Nntp-Posting-Host: unixg.ubc.ca
  7. Message-ID: <israel.714765113@unixg.ubc.ca>
  8. Sender: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  9. X-Submissions-To: sci-math-research@uiuc.edu
  10. Organization: University of British Columbia, Vancouver, B.C., Canada
  11. X-Administrivia-To: sci-math-research-request@uiuc.edu
  12. Approved: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  13. Date: Tue, 25 Aug 1992 17:51:53 GMT
  14. Lines: 36
  15.  
  16. In <17dh96INN35s@function.mps.ohio-state.edu> edgar@function.mps.ohio-state.edu (Gerald Edgar) writes:
  17.  
  18.  
  19. >(I seem to remember seeing this, but can't remember for sure.)
  20.  
  21. >Let S be a metric space.  Write B(x,r) for the open ball with center
  22. >x and radius r.  Let mu be a finite Borel measure on S.  For fixed
  23. >r>0, does it follow that the function
  24.  
  25. >   x --->  mu(B(x,r))
  26.  
  27. >(from S to R) is a Borel function of x ?
  28.  
  29. Without loss of generality, assume that mu is a positive measure
  30. (for a signed measure, use the Hahn decomposition).  Then your function
  31. is not only Borel, it is lower semicontinuous, i.e. for any t,
  32. {x: mu(B(x,r) > t} is open.
  33.  
  34. Suppose mu(B(x,r)) > t.  Since B(x,r) = union{B(x,r-1/n): n in positive 
  35. integers}, mu(B(x,r-1/n)) > t for some positive integer n.  If d(x,y) < 1/n,
  36. then B(x,r-1/n) is contained in B(y,r), so mu(B(y,r)) > t.
  37.  
  38. >Assume, if necessary, that S is separable.
  39. >-- 
  40. >  Gerald A. Edgar                Internet:  edgar@mps.ohio-state.edu
  41. >  Department of Mathematics      Bitnet:    EDGAR@OHSTPY
  42. >  The Ohio State University      telephone: 614-292-0395 (Office)
  43. >  Columbus, OH 43210             -292-4975 (Math. Dept.) -292-1479 (Dept. Fax)
  44.  
  45. -- 
  46. Robert Israel                            israel@math.ubc.ca
  47. Department of Mathematics             or israel@unixg.ubc.ca
  48. University of British Columbia
  49. Vancouver, BC, Canada V6T 1Y4
  50.  
  51.  
  52.