home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / 10675 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-29  |  4.5 KB
  1. Path: sparky!uunet!europa.asd.contel.com!darwin.sura.net!jvnc.net!netnews.upenn.edu!netnews.cc.lehigh.edu!ns1.cc.lehigh.edu!fc03
  2. From: fc03@ns1.cc.lehigh.edu (Frederick W. Chapman)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: polynomial roots and zero divisors
  5. Message-ID: <1992Aug28.152529.113932@ns1.cc.lehigh.edu>
  6. Date: 28 Aug 92 15:25:29 GMT
  7. Organization: Lehigh University
  8. Lines: 96
  9.  
  10. In article <27AUG199211450866@cs.umass.edu>, rcollins@cs.umass.edu
  11. (Bob Collins) writes:
  12.  
  13. >  I would like to find the eigenvalues/vectors of a square 
  14. >matrix.  Unfortunately, the elements of the matrix are not 
  15. >members of a field.  In particular, they are "dual numbers",
  16. >defined in Yaglom's "Complex Numbers in Geometry" as a type of
  17. >complex number (a + b E), a and b being reals, and E being a
  18. >nilpotent imaginary unit; so E^2 = 0.  Dual numbers form a
  19. >commutative ring, but they are not a field since any number 
  20. >of the form (0 + a E) is a zero divisor.
  21. >
  22. >Question: Can I find the eigenvalues of a matrix (roots of a
  23. >characteristic polynomial) whose elements (coefficients) are 
  24. >from a commutative ring, but not a field?
  25.  
  26. [...]
  27.  
  28. Certainly!  In this case, it's not really any more difficult than solving
  29. individual polynomial equations over the reals.  Suppose you want to solve
  30. the following quadratic equation over the "dual numbers":
  31.  
  32.        (x + y E)^2 + (-3 + E)(x + y E) + (2 + 4 E)  =  (0 + 0 E).
  33.  
  34. Expand all the multiplications and simplify using the rule E^2 = 0:
  35.  
  36.          x^2 + 2xy E - 3x + x E - 3y E  + 2 + 4 E  =  0 + 0 E.
  37.  
  38. Now collect terms together:
  39.  
  40.             (x^2 - 3x + 2) + (2xy + x - 3y + 4) E  =  0 + 0 E.
  41.  
  42. Equate the coefficients of the two components to get a system of real
  43. polynomial equations in x and y:
  44.  
  45.                          x^2 - 3x + 2         =  0
  46.                          (2x - 3)y + (x + 4)  =  0.
  47.  
  48. The first equation involves only x; solve the first equation to get
  49.  
  50.                             x = 1  or  x = 2.
  51.  
  52. Substitute x = 1 into the second equation and solve for y to get y = 5.
  53. Substitute x = 2 into the second equation and solve for y to get y = -6.
  54. Thus, 1 + 5 E and 2 - 6 E are the only solutions to the original quadratic
  55. equation over the dual numbers.
  56.  
  57. ...........................................................................
  58.  
  59. In general, since 
  60.  
  61.                 (x + y E)^n  =  x^n  +  (n x^{n-1} y) E
  62.  
  63. and
  64.  
  65.        (a + b E)(x + y E)^n  =  a x^n  +  (a n x^{n-1} y + b x^n ) E,
  66.  
  67. we can conclude that any polynomial equation in the unknown x + y E over
  68. the dual numbers will always simplify into a system of two real polynomial
  69. equations in x and y; the first equation will always be a polynomial in x
  70. alone, and the second equation will always be of degree one in y, as
  71. follows:
  72.  
  73.                         p(x)              =  0
  74.                         p'(x) y  +  q(x)  =  0
  75.  
  76. where p'(x) denotes the derivative of the polynomial p(x).  Solve the first
  77. equation for REAL solutions x = r, using a suitable numerical method if
  78. necessary.  (To make use of COMPLEX solutions x = u + v I, we must extend
  79. the "REAL dual numbers" to form the "COMPLEX dual numbers"; i.e., numbers
  80. of the form (a + b I) + (c + d I) E, where I^2 = -1, E^2 = 0, IE = EI, and
  81. a, b, c, and d are real; you may or may not wish to make this extension.)
  82.  
  83. Upon substituting x = r into the second equation, we find that there are
  84. three things that can happen.  (1) If r is NOT a multiple root of p(x) --
  85. that is, if p'(r) is non-zero -- then the second equation has a unique
  86. solution y = -q(r)/p'(r), and r - q(r)/p'(r) E is a solution to the
  87. original polynomial equation over the dual numbers.  (2) If r IS a multiple
  88. root of p(x) -- that is, if p'(r) = 0 -- but r is NOT a root of q(x), then
  89. the second equation has no solutions; thus, there is no real y for which 
  90. r + y E is a solution of the original polynomial equation over the dual
  91. numbers.  (3) If r IS a multiple root of p(x) AND r is a root of q(x), then
  92. all real y satisfy the second equation, thereby yielding an infinite family
  93. of solutions r + y E to the original polynomial equation over the dual
  94. numbers).
  95.  
  96. Tha tha tha tha tha tha tha tha that's all folks!  :-) 
  97.  
  98. -- 
  99.  
  100. o ------------------------------------------------------------------------- o
  101. |  Frederick W. Chapman, User Services, Computing Center, Lehigh University |
  102. |    Campus Phone:  8-3218     Preferred E-mail Address:  fc03@Lehigh.Edu   | 
  103. |         "The day after yesterday is the second-to-last day before         |
  104. |               the rest of your life the day after tomorrow."              |
  105. o ------------------------------------------------------------------------- o
  106.