home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / 10673 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-29  |  2.5 KB
  1. Path: sparky!uunet!gatech!purdue!mentor.cc.purdue.edu!noose.ecn.purdue.edu!samsung!balrog!web.ctron.com!wilson
  2. From: wilson@web.ctron.com
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Parallel Postulate
  5. Message-ID: <4898@balrog.ctron.com>
  6. Date: 28 Aug 92 17:52:44 GMT
  7. Sender: usenet@balrog.ctron.com
  8. Reply-To: wilson@web.ctron.com ()
  9. Organization: Cabletron Systems INc.
  10. Lines: 53
  11.  
  12.  
  13.     In <1992Aug27.115903.10390@waikato.ac.nz>, maj@waikato.ac.nz
  14.     (Murray A. Jorgensen) writes:
  15.  
  16. > I have always felt that Euclid's form is superior because it contains
  17. > no mention of the mysterious undefined concept 'parallel'. And how
  18. > are we supposed to have any intuition of what 'parallel' means in the
  19. > various possible geometries that may exist without the axiom. I don't
  20. > think Playfairs Axiom plays fair in the least.
  21.  
  22.     While Playfair's Postulate (PP) tacitly uses the concept of
  23.     "parallel lines," Euclid's Parallel Postulate (EPP) tacitly uses
  24.     the concept of "side of a line."  Their definitions are as follows
  25.     (note "coplanar" in both):
  26.  
  27.     parallel lines:  Two lines are parallel if they are coplanar
  28.     and nonintersecting.
  29.  
  30.     side of a line:  Two points are on the same side of a line if
  31.     the points and line are all coplanar and the segment between
  32.     the points does not intersect the line.
  33.  
  34.     Which concept is more "intuitive," which more "mysterious?"
  35.  
  36. > It has always struck me as question begging.
  37.  
  38.     For either PP or EPP to be meaningful in a geometry, "coplanar"
  39.     must be meaningful in that geometry.  In planar absolute geometry,
  40.     "coplanar" is implicit.  In higher-dimensional geometries, for
  41.     example, we must define "coplanar" in order to use either axiom.
  42.     So both axioms beg the question "What is a plane?"
  43.  
  44.     Given that we know what a plane is, PP becomes:
  45.  
  46.     For any point P off line l, there exists a unique line
  47.     passing through P, coplanar with l, and not intersecting l.
  48.  
  49.     Compare this little gem with EPP.  Even given "coplanar," the
  50.     precise statement of EPP still requires defining "the sum of the
  51.     adjacent interior angles is less than two right angles," with
  52.     its incumbent definitions of "side of a line," "sum of angles,"
  53.     etc.  For this reason, I find EPP inferior to PP.
  54.  
  55.     At any rate, it would be nice to a generalized version of the
  56.     Parallel Postulate which does not need to know about planes.  Is
  57.     this possible?
  58.  
  59.     
  60. -- 
  61. David W. Wilson (wilson@ctron.com)
  62.  
  63. Disclaimer: "Truth is just truth...You can't have opinions about truth."
  64. - Peter Schikele, introduction to P.D.Q. Bach's oratorio "The Seasonings."
  65.