home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / 10653 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-27  |  2.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!news.claremont.edu!ucivax!orion.oac.uci.edu!beckman.com!dn66!a_rubin
  2. Newsgroups: sci.math
  3. Subject: Re: polynomial roots and zero divisors
  4. Message-ID: <a_rubin.714955187@dn66>
  5. From: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (Arthur Rubin)
  6. Date: 27 Aug 92 22:39:47 GMT
  7. References: <27AUG199211450866@cs.umass.edu>
  8. Nntp-Posting-Host: dn66.dse.beckman.com
  9. Lines: 47
  10.  
  11. In <27AUG199211450866@cs.umass.edu> rcollins@cs.umass.edu (Bob Collins) writes:
  12.  
  13.  
  14. >  I would like to find the eigenvalues/vectors of a square 
  15. >matrix.  Unfortunately, the elements of the matrix are not 
  16. >members of a field.  In particular, they are "dual numbers",
  17. >defined in Yaglom's "Complex Numbers in Geometry" as a type of
  18. >complex number (a + b E), a and b being reals, and E being a
  19. >nilpotent imaginary unit; so E^2 = 0.  Dual numbers form a
  20. >commutative ring, but they are not a field since any number 
  21. >of the form (0 + a E) is a zero divisor.
  22.  
  23. >Question: Can I find the eigenvalues of a matrix (roots of a
  24. >characteristic polynomial) whose elements (coefficients) are 
  25. >from a commutative ring, but not a field?
  26.  
  27. In the general case, perhaps not; but in this case, we have:
  28.  
  29. M = A + B E; l (lambda) = a + b E; (A, B real matrices; a, b real numbers)
  30.  
  31. Det[M - l I] = Det[A -a I + E (B - b I)]
  32.              = Det[A -a I] + E (Sum(i) Det[A-a I with row i replaced by B - b I]) + E^2 ...
  33.              = Det[A -a I] + E (Sum(i) Det[A-a I with row i replaced by B])
  34.                            - b E (Sum(i) Det[A - a I with row and column i removed]);
  35.  
  36. which can be solved if the characteristic polynomial of A has distinct roots.
  37.  
  38. If the characteristic polynomial of A does not have distinct roots, either
  39. here are fewer than n eigenvalues, or (a + x E) are eigenvalues for all x
  40. (for some a).
  41.  
  42. Alternatively, a + b E is an eigenvalue of A + B E if
  43.  
  44. (1) a is an eigenvalue of A of multiplicity 1 and the corresponding
  45. eigenvalue of A + B eps is a + b eps + o(eps) (for eps small), or
  46.  
  47. (2) a is an eigenvalue of A of multiplicity > 1 and the corresponding
  48. eigenvalue(s) of A + B eps are a + O(eps).
  49.  
  50. (This may not be obvious, but I believe it to be true.)
  51.  
  52.  
  53. --
  54. Arthur L. Rubin: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (work) Beckman Instruments/Brea
  55. 216-5888@mcimail.com 70707.453@compuserve.com arthur@pnet01.cts.com (personal)
  56. My opinions are my own, and do not represent those of my employer.
  57. My interaction with our news system is unstable; if you want to be sure I see a post, mail it.
  58.