home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / 10624 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-27  |  2.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!sdd.hp.com!think.com!news!columbus
  2. From: columbus@strident.think.com (Michael Weiss)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Parallel axiom.
  5. Date: 27 Aug 92 10:53:25
  6. Organization: Thinking Machines Corporation, Cambridge MA, USA
  7. Lines: 34
  8. Message-ID: <COLUMBUS.92Aug27105326@strident.think.com>
  9. References: <1992Aug25.170135.504@csc.canterbury.ac.nz>
  10.     <1992Aug27.115903.10390@waikato.ac.nz>
  11. NNTP-Posting-Host: strident.think.com
  12. In-reply-to: maj@waikato.ac.nz's message of 26 Aug 92 23:59:03 GMT
  13.  
  14. In article <1992Aug27.115903.10390@waikato.ac.nz> maj@waikato.ac.nz writes:
  15.  
  16.    I have always felt that Euclid's form is superior because it contains
  17.    no mention of the mysterious undefined concept 'parallel'. And how
  18.    are we supposed to have any intuition of what 'parallel' means in the
  19.    various possible geometries that may exist without the axiom. I don't
  20.    think Playfairs Axiom plays fair in the least. It has always struck
  21.    me as question begging.
  22.  
  23.    -- 
  24.    Murray A. Jorgensen [ maj@waikato.ac.nz ]    University of Waikato
  25.    Department of Mathematics and Statistics     Hamilton, New Zealand      
  26.  
  27. Definition: two lines are parallel if they have no points in common.
  28. What's mysterious about that?
  29.  
  30. If you want to be really picky, or are a fan of first order logic, consider
  31. a theory containing unary predicates "point(x)" and "line(x)", and a binary
  32. predicate "on(x,y)", which I will write in the infix form "x on y".  Then
  33. the parallel predicate is defined:
  34.  
  35.            def
  36.    x || y  ===   line(x) and line(y) and not (exists z)[point(z) and z on x
  37.                  and z on y]
  38.  
  39.  
  40. Incidentally, I am fairly sure that Playfair was not the first to introduce
  41. "Playfair's" form of the parallel postulate, though I don't remember
  42. offhand who was.
  43.  
  44. So far as intuition goes, are you familiar with Poincare's model of the
  45. non-euclidean plane?  I grant you that a purely axiomatic treatment is apt
  46. to prove a bit unsatisfying, although that's all that Bolyai had to work
  47. with.
  48.