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/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / 10522 < prev    next >
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Text File  |  1992-08-23  |  1.7 KB  |  46 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!usc!wupost!eclnews!jezebel!mccarthy
  3. From: mccarthy@jezebel.wustl.edu (John McCarthy)
  4. Subject: Re: Help - non-integral power of a matrix?
  5. Message-ID: <1992Aug23.204524.15892@wuecl.wustl.edu>
  6. Sender: usenet@wuecl.wustl.edu (Usenet Administrator)
  7. Nntp-Posting-Host: jezebel
  8. Organization: Washington University, St. Louis Mo.
  9. References: <KOSOWSKY.92Aug14122403@schottky.harvard.edu> <1992Aug14.204404.23279@galois.mit.edu> <KOSOWSKY.92Aug17163140@minerva.harvard.edu>
  10. Date: Sun, 23 Aug 1992 20:45:24 GMT
  11. Lines: 33
  12.  
  13. In article <KOSOWSKY.92Aug17163140@minerva.harvard.edu> kosowsky@minerva.harvard.edu (Jeffrey J. Kosowsky) writes:
  14. >
  15. >Just for clarification, the two mentions of finite-dimensionality above
  16. >can be extended to compact operators on any Banach space. In the
  17. >compact infinite dimensional case:
  18. >    a] spectrum = closure of set of eigenvalues
  19. >              = {eigenvalues} U {0}
  20. >     so, it is still sufficient check the size of the eigenvalues
  21. >     plus the limit point 0. 
  22. >    In the case of the logarithm, 0 does not lie in the radius of
  23. >    convergence about 1. So, the Riesz functional calculus won't work
  24. >    here. Actually, the Borel functional calculus won't work either
  25. >    since the logarithm is not defined at 0.
  26. >
  27. >    So, is there any way to define the logarithm of a (compact)
  28. >    operator on an infinite dimensional space that avoids this
  29. >    problem of 0 being in the spectrum?
  30. >
  31. >    b]It is still true that normal iff diagonalizable
  32. >    
  33. >
  34. >
  35. >Jeff Kosowsky
  36.  
  37. No. If log(K) = A, where A is bounded, then 
  38. spectrum(K) = spectrum(exp(A)) = exp(spectrum(A).
  39. So if 0 is in the spectrum of K (always true if K is compact on
  40. an infinite dimensional space), - infinity must be in the spectrum of A,
  41. contradicting its boundedness.
  42.  
  43. John E. McCarthy
  44.  
  45.  
  46.