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/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / logic / 1341 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-09-03  |  2.5 KB
  1. Path: sparky!uunet!mcsun!corton!seti!nuri!ziane
  2. From: ziane@nuri.inria.fr (ziane mikal -)
  3. Newsgroups: sci.logic
  4. Subject: Set of all sets + correcting MZ's syntax
  5. Message-ID: <4134@seti.UUCP>
  6. Date: 3 Sep 92 17:25:27 GMT
  7. Sender: news@seti.UUCP
  8. Organization: INRIA Rocquencourt,Le Chesnay, France.
  9. Lines: 59
  10.  
  11. In article <1992Aug25.120515.15090@husc3.harvard.edu> zeleny@husc9.harvard.edu (Michael Zeleny) writes:
  12. >Greetings,
  13. [...]
  14. >Je suis pr\^et \`a partir pour Paris jusqu'a 17 septembre; par
  15. >cons\'equent, il me sera impossible de tenir mes propos provocants.
  16. >Veuillez envoyer vos messages concernant mes defauts personnels \`a ma
  17. >adresse not\'ee ci-dessous.
  18. [...]
  19.  
  20. I cannot resist. Correcting MZ is such a pleasure.
  21. It's "mon adresse" and not "ma adresse".
  22. I confess however that the rest of his French looks better
  23. than my English.
  24.  
  25. BTW, Mishka, si tu passes par l'inria, viens donc me faire
  26. une petite visite au batiment 9 ou appelle moi a paname.
  27. Je suis dans l'annuaire.
  28.  
  29.  
  30. Since this can hardly justify a posting by itself here is something 
  31. more interesting I hope.
  32.  
  33. Russel's paradoxical set is the set of normal sets, i.e. sets which
  34. don't belong to themselves.
  35. However, the set of all sets, let's call it S, is often considered 
  36. paradoxical because of the following, with P(S) the powerset of S:
  37.  
  38. P(S) is included into S, then Card(P(S)) <= Card (S)
  39. which contradicts a theorem saying that
  40. Card(P(S)) > Card(S)
  41.  
  42. However, looking back to the proof for Card(P(S)) > Card(S)
  43. it appears that the proof uses a set might quite be paradoxical !
  44. The idea is to consider a function from S onto P(S).
  45. If you take the identity the dubious set is indeed Russel's set !
  46.  
  47. Thus you might as well reject the proof rather than the concept
  48. of set of all sets. However if you define sets with ZF it seems
  49. that you must accept the proof. The separation "axiom" which is
  50. in facta theorem of ZF, implies that the above dubious set be
  51. a proper set. (Am I wrong ?)
  52.  
  53. The question is now, whether or not alternative axiomatizations
  54. have been proposed that are consistent with the existence of the
  55. set of all sets ?
  56.  
  57. Also, I don't know anything yet about categories. I have heard
  58. though that the category of all the categories is not a pb.
  59. Does category theory have similar paradoxes though ?
  60.  
  61. Do the problems with the set of all sets prevent the possibility
  62. to properly define an Abstract Data Type "set" ? Set of anything
  63. of course.
  64.  
  65. Finaly, for computer scientists, is it problematic to have a
  66. universal type. I think of hierarchies in Object Oriented
  67. languages, where you have a root like Object or Class.
  68.  
  69. Mikal Ziane.
  70.