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/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10480 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-21  |  1.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!ogicse!uwm.edu!zaphod.mps.ohio-state.edu!magnus.acs.ohio-state.edu!wjcastre
  2. From: wjcastre@magnus.acs.ohio-state.edu (W.Jose Castrellon G.)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Dirichlet's theorem (was Re: Primes in x_{n+1} = ax_n+b)
  5. Message-ID: <1992Aug21.162241.7303@magnus.acs.ohio-state.edu>
  6. Date: 21 Aug 92 16:22:41 GMT
  7. Article-I.D.: magnus.1992Aug21.162241.7303
  8. References: <a_rubin.714331997@dn66> <1992Aug21.103132.29967@ecrc.de>
  9. Sender: news@magnus.acs.ohio-state.edu
  10. Organization: The Ohio State University,Math.Dept.(studnt)
  11. Lines: 26
  12. Nntp-Posting-Host: bottom.magnus.acs.ohio-state.edu
  13.  
  14. In article <1992Aug21.103132.29967@ecrc.de> jeanmarc@ecrc.de writes:
  15.  
  16. >Let a,b be integers, and (x_n) be a sequence s.t. x_{n+1} = a x_n + b
  17. >
  18. >My question is: does it contain infinitely many primes ?
  19. >
  20. >There are trivial cases, where the answer is no:
  21. >1/ if (a x_0 + b = x_0) the sequence is constant.
  22. >2/ if (a = -1) the sequence alternates between two values x_0 and x_1.
  23. >3/ if ((a,b) > 1 or (x_0,b) > 1) then the sequence clearly contains only
  24. >composite numbers.
  25. >
  26. >What about the other cases ?
  27. >
  28. >I've seen a "theorem of Dirichlet" in Hardy&Wright which handles the case a=1.
  29. >Can anyone give me a pointer to a proof of that theorem (Hardy&Wright don't
  30. >give it and the only reference they give is in German).
  31. >
  32. >---
  33.  
  34. There is one in Ireland&Rosen's _A Classical Introduction to Modern Number 
  35. Theory_. It uses only basic complex analysis (as in Knopp's dover books).
  36.  
  37. Dirichlet's Theorem: If a and b are relatively prime, then there are infinitely
  38. many primes of the form  an+b. Even more, the density of primes is equally dis-
  39. tributed among all b's  <a  which are relatively prime to  a.
  40.