home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10426 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-19  |  2.2 KB  |  50 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!munnari.oz.au!bruce.cs.monash.edu.au!dld
  3. From: dld@cs.monash.edu.au (David L Dowe)
  4. Subject: int(x*log(x)*((1-x)^n), x=0..1)
  5. Message-ID: <dld.714296391@bruce.cs.monash.edu.au>
  6. Summary: int(x*log(x)*((1-x)^n), x=0..1),  positive integer n
  7. Keywords: Hairy integral, Beta function
  8. Sender: news@bruce.cs.monash.edu.au (USENET News System)
  9. Organization: Computer Science, Monash University, Australia
  10. Date: Thu, 20 Aug 1992 07:39:51 GMT
  11. Lines: 37
  12.  
  13. Let  I(n) = int(x*log(x)*((1-x)^n), x=0..1);
  14. to use Maple's notation.        n is a positive integer.     log is ln  .
  15.  
  16. I seek as simple an expression as possible or, that failing, as rapidly
  17. converging an expression as possible for I(n).
  18.  
  19. Before you respond (to me rather than the newsgroup, please), let me tell
  20. you what I do know:
  21. By parts,  int((x^n)*log(x), x=0..1) = -1/((n+1)^2)          (1)
  22.  
  23. Expanding (1-x)^n binomially and using (1)  enables us to get a
  24. fairly simple expression for I(n).   But, I would like (if possible) a simpler
  25. or more rapidly converging expression.
  26.  
  27. o   I also know that, re-writing  I(n)  as  int((1-x)*log(1-x)*(x^n)),x=0..1);
  28.   Taylor expanding  log(x)  =  Sum(i=1,infinity) -(x^i)/i     gives
  29.   I(n)  =  int(-(x^(n+1)) + Sum(i=2,infinity) (x^(n+i))/((i-1)*i) , x=0..1)  ;
  30. and so     I(n)  =  -1/(n+2)  +  Sum(i=2,infinity) 1/((i-1)*i*(n+i+1)) .
  31.   This also converges more slowly than I would like it to.
  32.  
  33. o   I also "know" that I(n) is rational.   I(0) = -1/4,  I(1) = -5/36,
  34.   I(2) = -13/144,  I(3) = -77/1200,  I(4) = -29/600,  I(5) = -223/5880,
  35.   I(6) = -481/15680,   and Maple Vn4.3 gave me a mammoth expression for
  36.   I(50) in 15 seconds.
  37.     When I gave Maple 4.3 the integral I(n)  (n unspecified), it merely
  38.  returned some seconds later with the same initial expression I had given it.
  39.  
  40. o   I also "know" that  n*(n-1)*I(n) + log(n + 1/2)   converges to
  41.   (I forget whether it's + or - )  +/- 0.42... ,
  42.   the 0.42... possibly (a guess) being something to do with Euler's constant.
  43.  
  44.    I would appreciate (a reference to)
  45.   a proof that I(n) is rational,
  46.   a proof of the convergence result, and the value of "0.42..." ,   and
  47.   (most importantly)  as simple an expression as possible for I(n) .
  48. __
  49.    Thank you.         Yours faithfully,  David Dowe.
  50.