home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10304 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-15  |  1.9 KB  |  47 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!sdd.hp.com!usc!sol.ctr.columbia.edu!destroyer!ubc-cs!unixg.ubc.ca!unixg.ubc.ca!israel
  3. From: israel@unixg.ubc.ca (Robert B. Israel)
  4. Subject: Re: f: Q -> Q , f analytic
  5. Message-ID: <israel.713952031@unixg.ubc.ca>
  6. Sender: news@unixg.ubc.ca (Usenet News Maintenance)
  7. Nntp-Posting-Host: unixg.ubc.ca
  8. Organization: University of British Columbia, Vancouver, B.C., Canada
  9. References: <1992Aug14.142252.8804@unibi.uni-bielefeld.de>
  10. Date: Sun, 16 Aug 1992 08:00:31 GMT
  11. Lines: 34
  12.  
  13. In <1992Aug14.142252.8804@unibi.uni-bielefeld.de> achim@unibi.uni-bielefeld.de (Achim Flammenkamp) writes:
  14.  
  15. >A analytic number theoretic question (or ?):
  16.  
  17. >Given a function with domain and target C excepted a finite number of points.
  18. >It maps Q into Q (Q denotes the set of rational numbers) and
  19. >it is meromorph on C (this implies uniquely extendable from Q to C).
  20.  
  21. >Must this function be representable as the quotient of two polynomies with
  22. >integer coefficients or are there other functions left (present a counter-
  23. >example, please) ?
  24.  
  25.  
  26.  
  27. Let {q_n} be an enumeration of Q.  Let {P_n} be an enumeration of
  28. polynomials with rational coefficients.  Let f_n be an entire
  29. function (a polynomial will do) satisfying:
  30.   (i)  f_n(q_j) = 0 for j < n
  31.   (ii) f_n(z) is real when z is real.
  32.   (iii) sum_{j=1}^n f_j(q_n) is rational, but is not P_n(q_n).
  33.   (iv) |f_n(z)| < 2^(-n) for |z| <= n
  34. Let F(z) = sum_{n=1}^infinity f_n(z).  The series converges
  35. uniformly on compact sets, so F is an entire function.  For each
  36. rational q_n, F(q_n) = sum_{j=1}^n f_j(q_n) is rational, so F
  37. maps Q into Q.  Moreover, F(q_n) <> P_n(q_n), so F is not a
  38. polynomial with rational coefficients.  Since it's entire, it's
  39. also not a quotient of polynomials with rational coefficients.
  40.  
  41. >achim
  42. -- 
  43. Robert Israel                            israel@math.ubc.ca
  44. Department of Mathematics             or israel@unixg.ubc.ca
  45. University of British Columbia
  46. Vancouver, BC, Canada V6T 1Y4
  47.