home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10282 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-14  |  1.6 KB  |  36 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!utcsri!skule.ecf!torn!news.ccs.queensu.ca!mast.queensu.ca!dmurdoch
  3. From: dmurdoch@mast.queensu.ca (Duncan Murdoch)
  4. Subject: Diophantine approximation
  5. Message-ID: <dmurdoch.30.713816259@mast.queensu.ca>
  6. Lines: 25
  7. Sender: news@knot.ccs.queensu.ca (Netnews control)
  8. Organization: Queen's University
  9. Date: Fri, 14 Aug 1992 18:17:39 GMT
  10.  
  11. I'm looking for a pair of reals (x_1,x_2), such that rational approximations 
  12. to the pair of the form (q_1, q_2) = (m_1/n, m_2/n) do as poorly as 
  13. possible, in the sense that the distance from the pair of reals to the 
  14. pair of rationals shrinks at the slowest possible rate as n is allowed to 
  15. increase.  
  16.  
  17. I've looked in Gruber and Lekkerkerker, Geometry of Numbers, and this looks 
  18. like their example I in section 45.1 and example II in section 45.4; in the 
  19. latter, they show that for any choice of (x_1, x_2) there are infinitely 
  20. many pairs (q_1, q_2) as above such that
  21.  
  22. (x_1 - q_1)^2 + (x_2 - q_2)^2   <=  1/(gamma n^3)     (*)
  23.  
  24. where gamma = sqrt(23)/2, but the assertion is not true for larger gamma.
  25. In this context, what I think I'm after is a particular pair 
  26. (x_1, x_2) such that there is at best equality in (*), never strict 
  27. inequality; failing that, one where the ratio of the LHS to the RHS is 
  28. asymptotically bounded below by 1.
  29.  
  30. The reason I have some hope to achieve this is that the corresponding one 
  31. dimensional problem does have solutions, for example x = (sqrt(5) - 1)/2.
  32.  
  33. The reason I'm asking here is that I can't understand 90% of Gruber and 
  34. Lekkerkerker, so I'm hoping that someone who can read it might know the 
  35. answer.
  36.