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/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10222 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-13  |  1002 b   |  29 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!brunix!brunix!dzk
  3. From: dzk@cs.brown.edu (Danny Keren)
  4. Subject: Re: Is Card(R)=Card(R^2)?
  5. Message-ID: <1992Aug13.162406.16084@cs.brown.edu>
  6. Sender: news@cs.brown.edu
  7. Organization: Brown University Department of Computer Science
  8. Date: Thu, 13 Aug 1992 16:24:06 GMT
  9. Lines: 18
  10.  
  11. proberts@informix.com (Paul Roberts) writes:
  12.  
  13. #I believe that there is even an everywhere-continuous 
  14. #bijective mapping from the unit line to the unit square.
  15.  
  16. That is not possible, since it would imply the unit interval is
  17. homeomorphic to the unit square. This is because the inverse of
  18. such a map is also contiuous. Since, take a closed subset of
  19. the interval. It is compact; hence its image is compact, but
  20. every compact subset of the unit square is closed. 
  21.  
  22. There is a continuous map from the interval *onto* the square; 
  23. Peano constructed the first such map, and it is quite easy to
  24. give a proof such a map exists using simple convergence properties
  25. of functions.
  26.  
  27. -Danny Keren.
  28.  
  29.