home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10220 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-13  |  2.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!dtix!darwin.sura.net!mips!sdd.hp.com!usc!noiro.acs.uci.edu!beckman.com!dn66!a_rubin
  2. From: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (Arthur Rubin)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Is Card(R)=Card(R^2)? (yes, and a question)
  5. Message-ID: <a_rubin.713717421@dn66>
  6. Date: 13 Aug 92 14:50:21 GMT
  7. References: <1992Aug12.102140.5231@nntp.hut.fi> <1992Aug13.044351.7123@cs.brown.edu>
  8. Lines: 30
  9. Nntp-Posting-Host: dn66.dse.beckman.com
  10.  
  11. In <1992Aug13.044351.7123@cs.brown.edu> dzk@cs.brown.edu (Danny Keren) writes:
  12.  
  13. >If I recall correctly, the fact that for *every* infinite cardinality
  14. >alpha it is true that alpha = alpha X alpha is equivalent to the
  15. >axiom of choice (help, anyone? I can prove that the axiom of choice
  16. >implies alpha = alpha X alpha, what about the other direction?).
  17.  
  18. See Rubin & Rubin, _Equivalents of the Axiom of Choice_ for many and proofs
  19. equivalents. (The Rubin's are my parents).  My recollection of the proof:
  20.  
  21. Let x be a set.  (Without loss of generality, x contains no ordinals).  Let
  22. y be H(x) = {al: al an ordinal and al <= x} (Hartog's function).  (It
  23. follows from elementary considerations that ~(y <= x).)  Consider x U y. 
  24. If (x U y) X (x U y) = (x U y), then we can select f:x X y <= x U y.  If 
  25. (Ez in x)(A(al)<y) (f(z,al) in x), then f(z,.):y <= x, a contradiction. 
  26. Otherwise, define g on x by g(z) = f(z,first al<y such that f(z,al) in y). 
  27. Clearly g: x <= y, so x can be well-ordered.  (It seems clear to me that
  28. the well-ordering principle implies the axiom of choice.  Of course, I've
  29. been working in the field on and off for 20 years.)
  30.  
  31. I don't have TeX here; with a little work I could convert that proof into
  32. something that would appear reasonable in TeX, but then _I_ couldn't read
  33. it.
  34.  
  35.  
  36. --
  37. Arthur L. Rubin: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (work) Beckman Instruments/Brea
  38. 216-5888@mcimail.com 70707.453@compuserve.com arthur@pnet01.cts.com (personal)
  39. My opinions are my own, and do not represent those of my employer.
  40. Our news system is unstable; if you want to be sure I see a post, mail it.
  41.