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/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10198 < prev    next >
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Text File  |  1992-08-12  |  1.6 KB  |  42 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!brunix!brunix!dzk
  3. From: dzk@cs.brown.edu (Danny Keren)
  4. Subject: Re: Is Card(R)=Card(R^2)? (yes, and a question)
  5. Message-ID: <1992Aug13.044351.7123@cs.brown.edu>
  6. Sender: news@cs.brown.edu
  7. Organization: Brown University Department of Computer Science
  8. References: <1992Aug12.102140.5231@nntp.hut.fi>
  9. Date: Thu, 13 Aug 1992 04:43:51 GMT
  10. Lines: 30
  11.  
  12. In article <1992Aug12.102140.5231@nntp.hut.fi> samu@lammio.hut.fi writes:
  13.  
  14. #I have been wondering... It seems first that there are more pairs of
  15. #real numbers than real numbers, but is it really so? And if not, I would
  16. #like to see a bijective mapping f:R->R^2. And furthermore, is there some  
  17. #relation between Card(R) and Card(R^n)?
  18.  
  19. The cardinalities are the same, since Card(R)=2^aleph0 
  20. (aleph0=Card(integers)). Hence:
  21.  
  22. Card(R^2)=Card(R) X Card(R) = 2^(aleph0+aleph0)=2^aleph0=Card(R).
  23.  
  24. (This extends immediately to show Card(R)=Card(R^n) for every integer n).
  25.  
  26. To build a bijection R-->R^2, take every real number, write it in its
  27. decimal expression, and map it to the real pair of numbers consisting
  28. of the odd and even digits in the expansion. Actually, there is even a
  29. *continuous function* from the unit interval onto the unit square! Peano
  30. gave the first such fuction, which stunned many mathematicians...
  31.  
  32. If I recall correctly, the fact that for *every* infinite cardinality
  33. alpha it is true that alpha = alpha X alpha is equivalent to the
  34. axiom of choice (help, anyone? I can prove that the axiom of choice
  35. implies alpha = alpha X alpha, what about the other direction?).
  36.  
  37.  
  38. -Danny Keren.
  39.  
  40.  
  41.  
  42.