home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10185 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-12  |  1.7 KB  |  35 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!snorkelwacker.mit.edu!galois!riesz!tycchow
  3. From: tycchow@riesz.mit.edu (Timothy Y. Chow)
  4. Subject: Re: The Converse of Kaplansky's Therorem
  5. Message-ID: <1992Aug12.222405.3089@galois.mit.edu>
  6. Sender: news@galois.mit.edu
  7. Nntp-Posting-Host: riesz
  8. Organization: None.  This saves me from writing a disclaimer.
  9. References: <1349@newsserver.cs.uwindsor.ca> <1992Aug12.165234.11088@thunder.mcrcim.mcgill.edu>
  10. Date: Wed, 12 Aug 92 22:24:05 GMT
  11. Lines: 22
  12.  
  13. In article <1992Aug12.165234.11088@thunder.mcrcim.mcgill.edu> boshuck@triples.math.mcgill.ca (William Boshuck) writes:
  14. <In article <1349@newsserver.cs.uwindsor.ca> tarokh@server.uwindsor.ca (TAROKH VAHID             ) writes:
  15. <>Would somebody please tell me if the converse of Kaplansky's Theorem
  16. <>is true or not? That is if R is a ring with identity such that all the
  17. <>projective R modules are free, then is R necessarily Local? If we assume
  18. <>that R does not have identity what could be said?
  19. <
  20. <The answer to the first question is NO. Look at the ring of integers.
  21. <I haven't thought about the second question since I have absolutely
  22. <no experience with rings without identity.
  23.  
  24. More generally, consider any principal ideal domain.  Any submodule of a
  25. free module over a principal ideal domain is free.  Projective modules are
  26. direct summands (hence submodules) of free modules.  Any non-local PID is a
  27. counterexample.
  28.  
  29. I also have no wisdom to offer about rings without unit.
  30. -- 
  31. Tim Chow     tycchow@math.mit.edu
  32. Where a calculator on the ENIAC is equipped with 18,000 vacuum tubes and weighs
  33. 30 tons, computers in the future may have only 1,000 vacuum tubes and weigh
  34. only 1 1/2 tons.                               ---Popular Mechanics, March 1949
  35.