home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10175 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-12  |  2.7 KB  |  67 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!utcsri!torn!watserv2.uwaterloo.ca!watserv1!cgodsil
  3. From: cgodsil@watserv1.uwaterloo.ca (C. Godsil - C and O)
  4. Subject: Re: A Word-Problem
  5. Message-ID: <Bsw0tG.Lnn@watserv1.uwaterloo.ca>
  6. Organization: University of Waterloo
  7. References: <1992Aug9.172411.26212@unibi.uni-bielefeld.de>
  8. Date: Wed, 12 Aug 1992 20:27:15 GMT
  9. Lines: 56
  10.  
  11. In article <1992Aug9.172411.26212@unibi.uni-bielefeld.de> uphya159@unibi.uni-bielefeld.de (0118) writes:
  12. >A Word-Problem:
  13. >
  14. >Let  G = < a,b | aabb=baba, bbaa=abab >  the free group of
  15. >two generators a and b with the two relations aabb=baba and bbaa=abab.
  16. >
  17. >Show that  aaabbb unequal bababa.
  18. >
  19. >I've tried all homomorphisms from G to S10 without success.
  20. >(e.g.  a->(123), b->(142)  shows  ab unequal ba  but  aaabbb=bababa)
  21. >
  22. >Torsten Sillke
  23. >(posted by Udo Sprute,  uphya159@unibi.HRZ.Uni-Bielefeld.DE)
  24.  
  25. The group  G = < a, b : a^2*b^2=(b*a)^2, b^2*a^2=(a*b)^2 >  is soluble:
  26.  
  27. Let  K  be the subgroup generated by  p = a*b  and  q = b*a .
  28. This subgroup is normal,  with quotient  G/K  cyclic
  29. (NB:  p^a = q,  p^b = p^-1*q^2,  q^a = q^-1*p^2,  &  q^b = p ).
  30.  
  31. Let  L  be the subgroup generated by  u = p^3  and  v = q^3 .
  32. This subgroup too is normal (with  u^a = v = u^b  and  v^a = u = v^b ),
  33. and also Abelian (since in fact both p and q centralize both u and v).
  34.  
  35. Further, the quotient  K/L  is a homomorphic image of the (3,3,3) triangle
  36. group  < p, q : p^3 = q^3 = (p*q)^3 = 1 >,  which is Abelian-by-cyclic,
  37. and is therefore soluble.
  38.  
  39. Now since  G/K is cyclic,  K/L is soluble,  and  L is Abelian, 
  40. it follows that  G itself is soluble.
  41.  
  42.  
  43. Here's a finite matrix representation of  G  over GF(2):
  44.  
  45.   A = [ 0  1  0  0  0 ]            B = [ 1  0  1  1  0 ]
  46.       [ 0  0  1  0  0 ]                [ 0  0  1  0  0 ]
  47.       [ 1  0  0  0  0 ]                [ 1  0  0  0  0 ]
  48.       [ 0  0  0  1  0 ]                [ 1  1  1  0  0 ]
  49.       [ 0  0  0  0  1 ]                [ 0  0  0  0  1 ]
  50.  
  51.   A^3*B^3 = [ 0  1  1  1  0 ]      B^3*A^3 = [ 0  1  1  1  0 ]
  52.             [ 1  0  1  1  0 ]                [ 1  0  1  1  0 ]
  53.             [ 1  1  0  1  0 ]                [ 1  1  0  1  0 ]
  54.             [ 1  1  1  0  0 ]                [ 1  1  1  0  0 ]
  55.             [ 0  0  0  1  1 ]                [ 1  1  1  0  1 ]
  56.  
  57.   (A^3*B^3)^2 = (B^3*A^3)^2 = [ 1  0  0  0  0 ]
  58.                               [ 0  1  0  0  0 ]
  59.                               [ 0  0  1  0  0 ]
  60.                               [ 0  0  0  1  0 ] 
  61.                               [ 1  1  1  1  1 ] 
  62.                               
  63. These matrices generate a factor group of order 96, with centre of order 2,
  64. and clearly isomorphic to a subgroup of AGL(4,2). 
  65.  
  66. Marston Conder  (marston@dibbler.uwaterloo.ca)        12 August 1992
  67.