home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / comp / graphics / visualiz / 1226 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-19  |  2.9 KB

  1. Path: sparky!uunet!ferkel.ucsb.edu!taco!lll-winken!decwrl!deccrl!bloom-beacon!eru.mt.luth.se!lunic!sunic!mcsun!sun4nl!fwi.uva.nl!wijkstra
  2. From: wijkstra@fwi.uva.nl (Marcel Wijkstra (AIO))
  3. Newsgroups: comp.graphics.visualization
  4. Subject: Rotation in nD space
  5. Message-ID: <1992Aug19.100559.13778@fwi.uva.nl>
  6. Date: 19 Aug 92 10:05:59 GMT
  7. Sender: news@fwi.uva.nl
  8. Organization: FWI, University of Amsterdam
  9. Lines: 65
  10. Nntp-Posting-Host: job.fwi.uva.nl
  11.  
  12. In 3D, you can rotate an object by applying a 3x3 transformation
  13. matrix to all points. Rotation around the X axis over angle A
  14. requires the matrix:
  15.         1  0  0     
  16.         0  C  S        where C = cos(A)
  17.         0 -S  C          and S = sin(A)
  18.  
  19. Note: since I do not need translations, I do not need a 4x4 matrix and
  20. homogenous coordinates.
  21.  
  22. I am trying to visualize objects in a higher space, e.g. a hypercube
  23. in 4D. To do so, I discard the fourth coordinate and treat it as a
  24. regular 3D object, i.e. use perspective projection to get it on the
  25. screen. A non-rotated hypercube thus results in a boring picture of
  26. a plain cube. Things get more interesting if the hypercube is rotated
  27. in 4D space. Then you would probably see something like two disformed
  28. cubes inside eachother, with their corners connected.
  29.  
  30. The question is: how do I 'rotate' an object in 4D? Or even: what is
  31. rotation in 4D? I proved (I think) that true rotation of a 4D object
  32. around one of the four principal axes is impossible. In other words:
  33. there exists no matrix M:
  34.  
  35.         1 0 0 0
  36.         0 a b c
  37.         0 d e f
  38.         0 g h i
  39.     
  40. that rotates a point (xyzt) around the X axis over a certain angle A,
  41. such that applying MM is the same as rotating over 2A. Note: such an
  42. M could exist, if you use complex numbers, but I doubt if that is
  43. allowed.
  44.  
  45. The only thing I could come up with, is to use three matrices
  46.  
  47.     1  0  0  0        1  0  0  0        1  0  0  0
  48.     0  C  S  0    ,    0  S  0  C    and    0  1  0  0
  49.     0 -S  C  0        0  0  1  0        0  0  C  S
  50.     0  0  0  1        0  C  0 -S        0  0 -S  C
  51.  
  52. for rotations around the XT, XZ and XY plane. Extended to an nD space,
  53. this approach results in (n^2 + n)/2 different rotation (n-2 D) spaces.
  54.  
  55. My final questions are:
  56.  
  57. (1) WHAT IS 'ROTATION' IN ND SPACE EXACLY (IF IT IS POSSIBLE AT ALL)?
  58.     This question comes merely from the difficulties I have in abstract
  59.     thinking, i.e. I haven't got the slightest idea what an object in
  60.     nD space would 'look' like.
  61.  
  62. (2) IS THE ABOVE APPROACH FOR ROTATIONS IN 4D SPACE CORRECT?
  63.     If so, then rotation of a left shoe (being a 3D object, i.e. with
  64.     t=0 for all points) can result in...a right shoe.
  65.  
  66. (3) ARE THERE ANY OTHER COMMENTS ON THE STATEMENTS I MADE?
  67.     Please, ALL comments/information/flames (yes, even flames) are very
  68.     welcome.
  69.  
  70. Thanks for reading,
  71. Marcel.
  72. -- 
  73.  X       Marcel Wijkstra   AIO   (wijkstra@fwi.uva.nl)
  74. |X|         Faculty of Mathematics and Computer Science    
  75.  X           University of Amsterdam   The Netherlands
  76. ======Life stinks. Fortunately, I've got a cold.========
  77.