home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / numanal / 3939 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1993-01-23  |  2.9 KB  |  78 lines
  1. Newsgroups: sci.math.num-analysis
  2. Path: sparky!uunet!usc!sdd.hp.com!ux1.cso.uiuc.edu!csrd.uiuc.edu!s4.csrd.uiuc.edu!schneid
  3. From: schneid@sp94.csrd.uiuc.edu (David John Schneider)
  4. Subject: Re: Exploiting Structure of Hamiltonian Matrices
  5. In-Reply-To: smith@minerva.harvard.edu's message of 22 Jan 93 13:44:22 GMT
  6. Message-ID: <SCHNEID.93Jan22142801@sp94.csrd.uiuc.edu>
  7. Sender: news@csrd.uiuc.edu
  8. Organization: Univ. of Ill. Center for Supercomputing R&D
  9. References: <1jo3i5INNnru@nyquist.usc.edu>
  10.     <SMITH.93Jan22084422@minerva.harvard.edu>
  11. Date: 22 Jan 93 14:28:01
  12. Lines: 64
  13.  
  14. smith@minerva.harvard.edu (Steven Smith) writes:
  15.  
  16. >
  17. >   By the way, these papers define the symplectic group to be the group
  18. >   of transformations leaving invariant the form
  19. >      _      _              _
  20. >    x y  + x y  + . . . + x y
  21. >     1 1    2 2            n n
  22. >    _                                                                  *
  23. >   (y denotes the complex conjugate of y).  This is really the group SO(n);
  24. >   the symplectic group leaves invariant the form
  25. >
  26. >    x y  + x y  + . . . + x y .
  27. >     1 1    2 2            n n
  28. >
  29. >   I don't know if this matters to you; they do this because the
  30. >   Hermitian pops up in the (complex) Riccati equation.
  31. >
  32.     Neither of these definitions correspond to the usual definition
  33.     of the invariant form for symplectic groups.  For example,
  34.     Gilmore ("Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications",
  35.     J. Wiley, 1974, chapter 2) defines symplectic groups as those
  36.     which preserve a bilinear antisymmetric form such as:
  37.  
  38.     x y  - x y  + x y   - x   y  + ...
  39.      1 n    n 1    2 n-1   n-1 2
  40.  
  41.     The forms mentioned above by Steve Smith are sesquilinear and 
  42.     bilinear, respectively, and both are symmetric.  
  43.  
  44.     As mentioned by Steve Smith it may be that the authors are really
  45.     interested in the one of the non-compact groups SO^*(2N) or SU^*(2N), 
  46.     the so-called "embedding groups".  The appearance of these groups 
  47.     is reasonable given the close connection between Hamiltonian dynamics 
  48.     and quaternions.
  49.  
  50.     Another possibility is that the authors are interested in the 
  51.     intersection of the symplectic group with the unitary or orthogonal 
  52.     group.  In this    case both symmetric and antisymmetric forms appear.
  53.     In fact, these two possibilities are related since maximal 
  54.     compact subgroup of SU^*(2N) is the unitary-symplectic group
  55.     USp(2n), and similar relationship holds between SO^*(2N) and U(N).  
  56.     For more details, see chapter 6 in the book by Gilmore mentioned 
  57.     previously.
  58.  
  59.     In any event, one should realize that it is the invariance of a 
  60.     given bilinear antisymmetric form which crucial to the definition 
  61.     of a symplectic group.  
  62.             
  63.  
  64. --
  65.  
  66.         Dave Schneider 
  67.  
  68.         University of Illinois at Urbana-Champaign 
  69.         Center for Supercomputing Research and Development
  70.         367 Computer and Systems Research Laboratory
  71.         1308 W. Main Street
  72.         Urbana, IL  61801-2307
  73.         MC-264
  74.  
  75.         phone : (217) 244-0055  
  76.         fax   : (217) 244-1351
  77.         E-mail: schneid@csrd.uiuc.edu
  78.