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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / physics / 22462 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-10  |  3.8 KB
  1. Xref: sparky sci.physics:22462 alt.sci.physics.new-theories:2726
  2. Newsgroups: sci.physics,alt.sci.physics.new-theories
  3. Path: sparky!uunet!well!sarfatti
  4. From: sarfatti@well.sf.ca.us (Jack Sarfatti)
  5. Subject: Wavelets, coherent states 10, sampling-reconstruction
  6. Message-ID: <C0o8nK.KtF@well.sf.ca.us>
  7. Sender: news@well.sf.ca.us
  8. Organization: Whole Earth 'Lectronic Link
  9. Date: Mon, 11 Jan 1993 04:04:32 GMT
  10. Lines: 84
  11.  
  12.  
  13. 10.Reconstruction of signal by sampling.
  14. The h[v,s] are highly redundant (over-complete, not linearly independent as
  15. kets etc - see earlier notes). We want to find discrete subsets that are
  16. complete frames. Kaiser gives an algorithm on p.38.
  17.  
  18. Let T > 0 be a fixed time interval. Sample output signal Fs(v) only at
  19. instants s = nT, n is integer. Discretize frequency as well.
  20.  
  21. fnT(t) = hnT(t)*f(t)    (74)  (* is cc of h not a "convolution" command)
  22.  
  23. has compact support in interval nT-& <=t<= nT, hence expand it in a Fourier
  24. series
  25.  
  26. fnT(t) = S(m)[e^-i2pimt/& cmn]    (75)
  27.  
  28. cmn = (1/&)Integral(from nT-& to nT)[e^i2pimt/& h(t-nT)* f(t)
  29.  
  30.     = (1/&)F(m/&|nT)  (76)
  31.  
  32. It can be shown (p.39) that
  33.  
  34. &hnT(t)fnT(t) = S(m)h[m/&,nT](t)<h[m/&,nT]|f>  (77)
  35.  
  36. sum over n, assume convergence limit g(t) where
  37.  
  38. g(t) = @ S(n)[|h(t-nT)|^2] (78)
  39.  
  40. 0< A <= g(t) <= B        (79)
  41.  
  42. then double discrete sum
  43.  
  44. S^2(n,m)[|<h[m/&,nT]|f>|^2 = Integral dt g(t)|f(t)|^2   (80)
  45.  
  46. hence the subset
  47.  
  48. H(M)[T,&} = {h[m/&,nT]|m,n in Z}   (81)
  49.  
  50. forms a "discrete subframe" with frame constants A nd B. This subframe is
  51. not generally tight, but the "metric" operator G is simply multiplication
  52. by g(t) . Note how the metric is built from sampled windows in equation
  53. (76).  The time signal is reconstructed as
  54.  
  55.  
  56. f(t) = g(t)^-1 S^2(n,m)[h[m/&,nT](t) F(m/&|nT)]   (82)
  57.  
  58. *The idea here is that we can recover the continuous signal by discrete
  59. sampling at time intervals T and frequency intervals 1/&. The Heisenberg
  60. uncertainty principle is here. Heisenberg's principle is the condition that
  61. the discrete subset h[m/&,nT] forms a frame. We cannot satisfy g(t) +> A >0
  62. unless the supports of successive windows like h(t) and h(t-T) overlap so
  63. that T < &  which is the uncertainty principle going the wrong way! It is
  64. the same as the condition on "virtual particles" fluctuating out of and
  65. back into the vacuum in Yukawa force picture. It is really consistent with
  66. Heisenberg because, if we use quantum pictures, we are asking the
  67. "complementary" question. We are not measuring conjugate (i.e.
  68. incompatible) observables on real particles but estimating the minimal
  69. noise levels of virtual particles that allow us to measure the real
  70. particles.
  71.  
  72. The closer T gets to &, the more difficult for the window function h to be
  73. smooth. Does it break into a kind of chaotic fractal at a T-& resonance?
  74. When T = & h(t) must be discontinuous if the frame condition is obeyed.
  75. This means that the Fourier transform of the window function H(v) is no
  76. longer concentrated near v = 0. This suggests some kind of a phase
  77. transition on computer analysis of natural time series of complex systems
  78. in which we vary T on the computer and see if there are any natural time
  79. scales & in the complex system!
  80.  
  81. **Above two paragraphs are Sarfatti's half-baked conjectures not Kaisers!**
  82.  
  83. This means that for nice windows h(t) we can get a good "perturbative"
  84. solution to the reconstruction of the signal by truncating the discrete
  85. double sampling sum in eq.(82) (like Feynman diagrams in QED? Sarfatti
  86. note). But the convergence of the perturbation series breaks down at a T-&
  87. resonance.
  88.  
  89. If we are only interested in a particular time interval and a particular
  90. frequency interval because we want to eliminate high frequency static in a
  91. sound system, for example, then the appropriate truncation includes an area
  92. in the time-frequency plane only slightly larger than the area of interest.
  93. In effect we are getting an least-squares approximation f1 to the original
  94. signal. (p.41)
  95.  
  96.