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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / physics / 22184 < prev    next >
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Text File  |  1993-01-06  |  3.2 KB  |  65 lines
  1. Newsgroups: sci.physics
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!uwm.edu!cs.utexas.edu!tamsun.tamu.edu!enterpoop.mit.edu!galois!riesz!jbaez
  3. From: jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez)
  4. Subject: Re: Wavelets & Coherent States ?
  5. Message-ID: <1993Jan6.230830.6733@galois.mit.edu>
  6. Sender: news@galois.mit.edu
  7. Nntp-Posting-Host: riesz
  8. Organization: MIT Department of Mathematics, Cambridge, MA
  9. References: <qg62r5g@rpi.edu> <1993Jan3.211626.3723@EE.Stanford.EDU>
  10. Distribution: usa
  11. Date: Wed, 6 Jan 93 23:08:30 GMT
  12. Lines: 51
  13.  
  14. In article <1993Jan3.211626.3723@EE.Stanford.EDU> siegman@EE.Stanford.EDU (Anthony E. Siegman) writes:
  15. >In article <qg62r5g@rpi.edu> sassoj@aix.rpi.edu (John J. Sasso Jr.) writes:
  16. >
  17. >>quantum mechanics.  Although I have has a basic course in Q.M., can anyone
  18. >>explain to me what coherent states are?  Do they have anything to do with 
  19. >>phase-space localization?
  20. >
  21. >   I can't explain them to you in a short note, but they are a
  22. >basically simple and also very effective way of rephrasing the quantum
  23. >theory of simple harmonic oscillators.  To find out about them do some
  24. >literature searching under the names of Glauber (Roy Glauber of
  25. >Harvard University) and possibly Louisell, and perhaps look for some
  26. >more modern and recent QM theory texts, not necessarily advanced ones
  27. >-- possibly by Cohen-Tannoudji, or Messiah.
  28. >
  29. >   I also think you are perceptive in noting a possible connection
  30. >between wavelets and coherent states.  Coherent states provide an
  31. >"over-complete" basis for the SHO, which means that the expansion of a
  32. >given arbitrary SHO state in coherent states is not unique (although
  33. >there are preferred ways to do the expansion), and I suspect the same
  34. >may be true of wavelets.
  35.  
  36. Wavelets are a type of orthonormal basis of functions on the real line.
  37. (Let's keep life simple and not talk about R^n.)  They have the
  38. advantage of being "compactly supported" - each one vanishes outside of
  39. some bounded interval.  This makes wavelets handier than Fourier
  40. analysis in many contexts.  In Fourier analysis, one decomposes a
  41. function into sines and cosines, which have "perfect pitch" (i.e., are
  42. delta functions in momentum space) but "last forever" (i.e., are not
  43. compactly supported in position space.)  Wavelets are compactly supported
  44. in position space hence (by a nice theorem) not compactly supported in
  45. momentum space - but one can make 'em fairly well localized in momentum
  46. space.  
  47.  
  48. Coherent states are rather different.  They don't form a basis; they are
  49. "overcomplete".  Basically, they are just functions of the following
  50. form: a Gaussian translated by a certain amount and then multiplied by a
  51. complex exponential.  If we make the Gaussian tall and skinny, we have a
  52. function that's fairly well localized in position space; if we make it
  53. short and wide, it's fairly well localized in momentum space.  If one is
  54. looking for a quantum state that approximates a given classical state,
  55. one is probably looking for a coherent state... they are often used for
  56. that in quantum optics.  
  57.  
  58. Try:
  59.  
  60.  Klauder, John R.
  61.      Coherent states : applications in physics and mathematical physics
  62. [papers
  63.    / compiled and introduced by] John R. Klauder, Bo-Sture Skagerstam.  
  64.    Singapore : World Scientific, c1985.
  65.