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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / physics / 22088 < prev    next >
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Internet Message Format  |  1993-01-04  |  2.8 KB
  1. Path: sparky!uunet!munnari.oz.au!spool.mu.edu!enterpoop.mit.edu!paperboy.osf.org!hsdndev!cfa203!gaetz
  2. From: gaetz@head-cfa.harvard.edu (Terrance J. Gaetz)
  3. Newsgroups: sci.physics
  4. Subject: Re: Schrodinger hydrogen atom partition function divergence
  5. Message-ID: <1993Jan4.205452.18721@cfa281.harvard.edu>
  6. Date: 4 Jan 93 20:54:52 GMT
  7. References: <1i1onuINNgh@gap.caltech.edu>
  8. Organization: Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics
  9. Lines: 47
  10.  
  11. In article <1i1onuINNgh@gap.caltech.edu> brandt@cco.caltech.edu (William N. Brandt) writes:
  12. >I have a question about the partition function of the Schrodinger
  13. >hydrogen atom. The energy eigenvalues for such an atom go like
  14. >13.6 ev * (1/n^2) so if we compute Z, the partition function,
  15. >
  16. >        Z = Sum[g_n * exp(-E_n/(k*T))]
  17. >
  18. >(g_n is the degeneracy of the nth state, k is Boltzman's constant,
  19. >and T is tempertature) we notice that E_n tends to zero so the
  20. >exponential tends to 1 so we get an explosively diverging series
  21. >since the g_n's tend to increase.
  22. >
  23. >Since Z is not a QM observable this looks at first sight not to be a
  24. >problem. However, since the population of a given level goes as
  25. >1/Z (and this is an observable) this would seem to indicate that
  26. >the Schrodinger hydrogen atom cannot contain an electron.
  27.  
  28. Peierls, in "Surprises in Theoretical Physics" (Princeton University
  29. Press, 1979) argues that this is the physically correct answer - the
  30. expectation is that a hydrogen alone in the universe will tend to be
  31. in an ionized state, whatever the temperature.  Basically, this is
  32. because the collisional ionization rate is independent of the 
  33. volume per atom, while the radiative recombination rate is 
  34. inversely proportional to the volume per atom.  As the volume
  35. per atom becomes infinite, ionizations dominate over recombinations.
  36.  
  37. Peierls also points to a discussion in Landau & Lifshitz ("Statistical 
  38. Mechanics") in which the law of mass action is used to obtain 
  39. the degree of ionization of a gas in thermal equilibrium (the 
  40. Saha equation, although I don't think they call it that).  Peierls 
  41. notes that a prediction of the equation is that the degree of
  42. ionization will be complete for a finite number of atoms in 
  43. an infinite volume.
  44.  
  45. >I know astronomers resolve this problem by lopping off the partition
  46. >function sum when the bohr radius of the nth state is approximately
  47. >the mean atomic spacing, since EM effects would prohibit higher
  48. >states.  However, is there a fundamental resolution to this
  49. >apparent problem? Or is it not really a problem and why? 
  50.  
  51. Peierls briefly discusses these issues; in a gas with finite volume
  52. per atom, the high n states of free atoms can't be used because 
  53. they overlap the adjacent atoms.  In essence, the perturbations
  54. resulting from the neighboring atoms will cause what would have
  55. been a high-n electron to behave as a free electron instead.
  56. --
  57. Terry Gaetz  --  gaetz@cfa.harvard.edu
  58.