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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / research / 630 < prev    next >
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Text File  |  1993-01-08  |  2.0 KB  |  42 lines
  1. Newsgroups: sci.math.research
  2. Path: sparky!uunet!usc!sdd.hp.com!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!dan
  3. From: "John C. Baez" <jbaez@BOURBAKI.MIT.EDU>
  4. Subject: surfaces in R^4
  5. Nntp-Posting-Host: riesz
  6. Message-ID: <1993Jan9.003826.22641@galois.mit.edu>
  7. Originator: dan@symcom.math.uiuc.edu
  8. Sender: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  9. X-Submissions-To: sci-math-research@uiuc.edu
  10. Organization: MIT Department of Mathematics, Cambridge, MA
  11. X-Administrivia-To: sci-math-research-request@uiuc.edu
  12. Approved: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  13. Date: Sat, 9 Jan 1993 00:38:26 GMT
  14. Lines: 26
  15.  
  16. I am getting interested in compact 2-manifolds embedded in R^4.
  17. Consider such a thing and call it S.  Let S_t be the intersection of S
  18. with the surface {(x,y,z,t): (x,y,z) in R^3}.  If S is generic it seems to
  19. me that for all but finitely many values of t, S_t will be a link in
  20. R^3, and at the finitely many "bad" values of t S_t will be a link
  21. with a single transverse selfintersection OR a link union a single
  22. isolated point.  I guess we can use Morse theory to show this, taking t
  23. as a Morse function and noting that there are 2 kinds of critical
  24. points, saddle points and extrema, which give the 2 cases above.
  25.  
  26. There is a little about this in the section Knotted 2-spheres in an
  27. article by Fox in Topology of 3-manifolds and Related Topics, ed. Fort.
  28. The references there all antedate 1962; can anyone direct me to more
  29. recent stuff, especially surveys?  Can anyone tell me what, if anything,
  30. this has to do with Donaldson theory and link invariants?  
  31.  
  32. Can anyone direct me to similar stuff that treats the case of generic
  33. immersed rather than embedded surfaces?  Generically an immersed surface
  34. in R^4 should have some transverse double points and these should spice
  35. things up a bit.  I would like to know how the picture I paint in the
  36. first paragraph generalizes to this case; I *think* I know but haven't
  37. gone through it carefully.
  38.  
  39. Of course, not only references but also general wisdom about this kind
  40. of thing would be greatly appreciated.  
  41.  
  42.