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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 18047 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-12  |  2.8 KB
  1. Xref: sparky sci.math:18047 sci.logic:2587
  2. Newsgroups: sci.math,sci.logic
  3. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!pacific.mps.ohio-state.edu!austin.onu.edu!yeomans@austin.onu.edu
  4. From: yeomans@austin.onu.edu (Charles Yeomans)
  5. Subject: Re: Frankly,my dear......was: Fermat's Last Theorem
  6. Sender: usenet@austin.onu.edu (Network News owner)
  7. Message-ID: <1993Jan12.205827.16058@austin.onu.edu>
  8. Date: Tue, 12 Jan 1993 20:58:27 GMT
  9. Distribution: usa
  10. References: <1993Jan7.021308.10566@nuscc.nus.sg> <1993Jan7.054017.25511@leland.Stanford.EDU> <1ilihlINN6ke@shelley.u.washington.edu> <1993Jan11.180310.11037@galois.mit.edu>
  11. Nntp-Posting-Host: yeomans.onu.edu
  12. Organization: Ohio Northern University
  13. Lines: 44
  14.  
  15. In article <1993Jan11.180310.11037@galois.mit.edu>, jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez) writes:
  16. > 
  17. > In article <1ilihlINN6ke@shelley.u.washington.edu> petry@zermelo.math.washington.edu (David Petry) writes:
  18. > Ilan Vardi writes:
  19. > >While it is true that no one can explain why Fermat's Last theorem has to 
  20. > >be true, there are very convincing heuristics arguments that it really 
  21. > >ought to be true.  Briefly, for a given large exponent p, the set of
  22. > >numbers which are perfect p'th powers is a very sparse set of numbers,
  23. > >and the probability that some number from such a set is the sum of two
  24. > >others from the set is very small.
  25. > >
  26. > >> This is a natural phenomenon that should be explained. 
  27. > >
  28. > >Actually, it's questionable whether it should be called a phenomenon
  29. > >at all.  Usually we think of a "phenomenon" as something that occurs
  30. > >which is improbable (don't we?).  Fermat's Last theorem is far from 
  31. > >being improbable.
  32. > 
  33. > Of course the notion of "probability" here is even more murky than
  34. > usual.  One is approximating a deterministic system by a stochastic one
  35. > and hoping that one is not neglecting any important patterns.  
  36. > 
  37. > But I tend to agree with Petry.  My friend Bruce Smith has proposed that
  38. > there should be large classes of conjectures which are "probably true"
  39. > by simple heuristic arguments, but are not provable.  
  40.  
  41. Here is something which is not what you are asking for, but it has a similar
  42. flavor.
  43.  
  44. Let K be a perfect field.  We say that K is pseudo-algebraically closed (PAC)
  45. if every geometrically irreducible variety defined over K has a K-rational
  46. point.
  47.  
  48. Let E be an algebraic closure of Q.  Let s1,..., sn be automorphisms of E and let
  49. E(s1,...sn) be the subfield of E fixed by these automorphisms.  It is a theorem
  50. of Moshe Jarden that, if one picks s1,..., sn at random, then the probability
  51. that E(s1,...sn) is PAC is 1.
  52.  
  53. But, to the best of my knowledge, there is not a single concrete example
  54. of such a field known to be PAC.  It is known that the fixed field of an
  55. automorphism of order 2 (the real algebraic numbers, for instance) is not PAC.
  56.  
  57. Charles Yeomans
  58.  
  59.