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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17998 < prev    next >
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Text File  |  1993-01-11  |  2.5 KB  |  58 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!caen!sol.ctr.columbia.edu!shire.math.columbia.edu!dy
  3. From: dy@shire.math.columbia.edu (Deane Yang)
  4. Subject: Re: proof wanted 2
  5. References: <1iqcp7INNoph@skeena.ucs.ubc.ca> <1993Jan11.030012.26208@Princeton.EDU> <1993Jan11.210012.18587@Princeton.EDU>
  6. Sender: nobody@ctr.columbia.edu
  7. Organization: Mathematics Department, Columbia University
  8. Date: Mon, 11 Jan 1993 22:23:38 GMT
  9. Message-ID: <1993Jan11.222338.17682@sol.ctr.columbia.edu>
  10. X-Posted-From: shire.math.columbia.edu
  11. NNTP-Posting-Host: sol.ctr.columbia.edu
  12. Lines: 44
  13.  
  14. In article <1993Jan11.210012.18587@Princeton.EDU> tao@fine.princeton.edu (Terry Tao) writes:
  15. >>>In article <ARA.93Jan10172314@camelot.ai.mit.edu> ara@zurich.ai.mit.edu (Allan Adler) writes:
  16. >>>>
  17. >>>>
  18. >>>>True or false: A metric space (X,d) is locally compact if and only if
  19. >>>>for every point p of X and every closed subset Y of X, there is a
  20. >>>>point q of Y such that d(p,q) = inf {d(p,r) | r in Y}.
  21. >>>>
  22. >>>
  23. >
  24. >False.  A friend suggested the following counter example:
  25. >
  26. >Let X be the space of infinitely many copies of {0} union {1/n: n = 1, 2,
  27. >...} with all the 0's glued together.  the metric is the natural one
  28. >between two points on the same copy, or through 0 on different copies.  The
  29. >space is not locally compact at 0, yet every closed set and every point has
  30. >a point of closest approach.  Basically the reason for this is that the
  31. >only problematic point is 0, and the fact that Y is closed then guarantees
  32. >that 0 is in Y.
  33. >
  34. >Terry
  35. > 
  36. >
  37.  
  38. The point here is that, except for 0, X is a discrete and therefore 
  39. locally compact space. The conjecture needs a further assumption,
  40. something that makes the space everywhere nondiscrete.
  41.  
  42. If I'm not mistaken, a reasonable assumption is that X is a length space.
  43. This means that the distance between two points in X is equal to the infimum
  44. of the lengths of continuous curves joining the two points. In particular,
  45. this means that given two points that are a finite distance apart,
  46. then you can always move one point a little bit and make the distance a little
  47. smaller.
  48.  
  49. Now suppose X is not locally compact. Then we can find a bounded sequence
  50. that has no convergent subsequence. In particular, this is a closed set.
  51. Pick a point outside the sequence that is a finite distance from the sequence.
  52. By nudging the points in the sequence, you should be able to obtain a closed
  53. set and a point such that the distance between the two is not realized by
  54. the distance between the given point and a point in the closed set.
  55.  
  56.  
  57.  
  58.