home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17929 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-10  |  2.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!mcsun!uknet!pavo.csi.cam.ac.uk!gjm11
  2. From: gjm11@cus.cam.ac.uk (G.J. McCaughan)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: proof wanted 2
  5. Message-ID: <1993Jan10.172353.13507@infodev.cam.ac.uk>
  6. Date: 10 Jan 93 17:23:53 GMT
  7. References: <1ikq9eINNmue@roundup.crhc.uiuc.edu> <1993Jan9.193759.3671@Princeton.EDU> <1iorntINNoal@skeena.ucs.ubc.ca>
  8. Sender: news@infodev.cam.ac.uk (USENET news)
  9. Organization: U of Cambridge, England
  10. Lines: 34
  11. Nntp-Posting-Host: apus.cus.cam.ac.uk
  12.  
  13. In article <1iorntINNoal@skeena.ucs.ubc.ca> liuli@unixg.ubc.ca (Li Liu) writes:
  14.  
  15. >The claim that there is a closest point in C (a close set) to a point
  16. >x (a point outside C) is not true for general metric spaces.
  17.  
  18. Correct.
  19.  
  20. >A simple example is to take the metric space to be { 1/n | n is positive
  21. >integers }, under the usual metric d(a,b)= |a-b|. Let C be the space 
  22. >itself. C is closed. Let x be 0. There is no point in C that is closet to
  23. >zero.
  24.  
  25. Incorrect. 0 is not in the space you consider; if you put 0 into the space,
  26. C is no longer closed.
  27.  
  28. To get a correct counterexample, we need a space in which closed&bounded
  29. does not imply compact. One of the most famous such spaces is called l^2,
  30. and consists of all square-summable sequences of real numbers; it's a
  31. vector space in the obvious way, it's got a norm (sqrt of sum of squares),
  32. and this induces a distance (d(x,y) = norm(x-y)); but (e.g.) the unit
  33. sphere is closed and bounded, but not compact.
  34.  
  35. Take x=0; C = { (1+1,0,0,0,0,0,0,...),
  36.                 (0,1+1/2,0,0,0,0,0,...),
  37.                 (0,0,1+1/3,0,0,0,0,...),
  38.                 (0,0,0,1+1/4,0,0,0,...), ... }
  39. and notice: the points of C get successively closer to x; C is closed
  40. despite appearences (because no subsequence of points of C converges.
  41. Note, for instance, that the distance between any two members of C is
  42. at least root(2).) We're done.
  43.  
  44. -- 
  45. Gareth McCaughan     Dept. of Pure Mathematics & Mathematical Statistics,
  46. gjm11@cus.cam.ac.uk  Cambridge University, England.    [Research student]
  47.