home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17921 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-10  |  2.2 KB
  1. Path: sparky!uunet!dziuxsolim.rutgers.edu!dimacs.rutgers.edu!bumby
  2. From: bumby@dimacs.rutgers.edu (Richard Bumby)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Euclidean Domain
  5. Message-ID: <Jan.10.09.44.57.1993.15296@dimacs.rutgers.edu>
  6. Date: 10 Jan 93 14:44:57 GMT
  7. References: <1993Jan8.211440.374@ncar.ucar.edu>
  8. Organization: Rutgers Univ., New Brunswick, N.J.
  9. Lines: 38
  10.  
  11. steele@isis.cgd.ucar.edu (Alfred Steele) writes:
  12.  
  13.  
  14. >In article <HAMMOND.93Jan3134111@annemarie.albany.edu>, hammond@csc.albany.edu (
  15. >William F. Hammond) writes:
  16. >|> In article <Jan.3.02.05.44.1993.24643@spade.rutgers.edu>
  17. >|>    cadet@spade.rutgers.edu (Uniquely TiJean) writes:
  18. >[....]
  19.  
  20. >|>If someone can answer the question:
  21. >|>Why there are not other candidates for the Euclidean function?
  22.  
  23. >I have asked the very same question and do not know the answer....
  24. >Any information netters know about this, I would be interested in hearing
  25. >about.  What is the "folklore" on the subject?
  26.  
  27. This should be a FAQ.  T. S. Motzkin, "The Euclidean Algorithm", Bull.
  28. Amer. Math. Soc. 55(1949), 1142-1146, gave a simple analysis of the
  29. properties of any Euclidean Algorithm in an integral domain.  The idea
  30. is to work backwards, starting with the set consisting only of zero,
  31. and applying the following construction.  The derived set of a set, S,
  32. consists of all elements of the domain which have a complete set of
  33. residues in S.  This construction may be extended transfinitely if
  34. necessary by taking unions at limit ordinals.  In order to have a
  35. Euclidean Algorithm, you must be able to exhaust the domain in this
  36. way.  For quadratic number rings, there are only finitely many units.
  37. The derived set of {0} consists only of units.  If all proper ideals
  38. have index greater than the number of units (only 2 except for some
  39. rings that are already Euclidean for the norm), the process stops
  40. there.
  41.  
  42. Another major article on Euclidean Algorithms is P. Samuel, "About
  43. Euclidean Rings", J. Algebra 19 (1971), 282-301.  It would appear that
  44. the next major exposition is due this year.
  45. -- 
  46. R. T. Bumby **  Rutgers Math ||   Amer. Math. Monthly Problems Editor
  47. bumby@math.rutgers.edu       || P.O. Box 10971 New Brunswick, NJ08906-0971
  48. bumby@dimacs.rutgers.edu     || Phone: [USA] 908 932 0277 * FAX 908 932 5530
  49.