home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17914 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-10  |  1.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!gatech!destroyer!cs.ubc.ca!unixg.ubc.ca!liuli
  2. From: liuli@unixg.ubc.ca (Li Liu)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: proof wanted 2
  5. Date: 10 Jan 1993 09:46:01 GMT
  6. Organization: University of British Columbia, Vancouver, B.C., Canada
  7. Lines: 23
  8. Message-ID: <1ior8pINNoah@skeena.ucs.ubc.ca>
  9. References: <1993Jan8.195646.1694@cc.umontreal.ca> <1ikq9eINNmue@roundup.crhc.uiuc.edu>
  10. NNTP-Posting-Host: unixg.ubc.ca
  11.  
  12. The problem is about the existence of a nearest point in a closed set C
  13. in R^n to a point x outside C. 
  14.  
  15. In a previous message, the author did a proof using a sequence of points
  16. in C whose distance to x is (weakly) decreasing. This sequence trivially
  17. exists, since if a point S_i is not the closest to x in C, then you can
  18. find a point S_{i+1} that is closer. 
  19.  
  20. But in order for a limit point of this sequence (or more precisely, a
  21. subsequence of this sequence) to exist, you need a compact set.
  22.  
  23. So take a closed ball centered at x and with radius the distance between x 
  24. and the first point in the sequence. All other points in the sequence
  25. are guaranteed to be in this ball. The intersection of this ball and
  26. C is a compact set. This is because it is closed and totally bounded.
  27. So now you have a sequence in a compact set. This sequence must have
  28. a convergent subsequence. The limit of the subsequence will be the 
  29. closest point to x. 
  30.  
  31. This will complete the proof.
  32.  
  33.  
  34.  
  35.