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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17902 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1993-01-09  |  2.1 KB  |  48 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!noc.near.net!nic.umass.edu!umassd.edu!ipgate.umassd.edu!martin
  3. From: martin@lyra.cis.umassd.edu (Gary Martin)
  4. Subject: Re: proof wanted 2
  5. In-Reply-To: pratt@Sunburn.Stanford.EDU's message of Sat, 9 Jan 1993 22:24:15 GMT
  6. Message-ID: <MARTIN.93Jan9204835@lyra.cis.umassd.edu>
  7. Sender: usenet@umassd.edu (USENET News System)
  8. Organization: University of Massachusetts Dartmouth
  9. References: <1993Jan8.195646.1694@cc.umontreal.ca>
  10.     <1993Jan9.222415.11784@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  11. Date: Sun, 10 Jan 1993 01:48:35 GMT
  12. Lines: 34
  13.  
  14. In article <1993Jan9.222415.11784@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt) writes:
  15.  
  16.    In article <1993Jan8.195646.1694@cc.umontreal.ca> cazelaig@ERE.UMontreal.CA (Cazelais Gilles) writes:
  17.    >
  18.    >                                                       n
  19.    >Is it true that if  C  is a nonempty closed subset of R  and x is a point
  20.    >not in  C  that there exists a point c in C that is closest in C to x.
  21.    > 
  22.    >i.e. such that:   |x-c'| >= |x-c| for all c' in C.
  23.  
  24.    I've been trying to understand quantum mechanics lately, and knowing
  25.    how to prove things like the above seems to be a prerequisite, so let
  26.    me try my hand at it.
  27.  
  28.    Let t be the distance of some point of C from x, and let r be the
  29.    infimum of all such distances.  If t=r we are done.  Otherwise let B_s
  30.    denote the set of points distant at most s from x, a closed ball, and
  31.    K_s its open complement.  No finite set of K_s's with s>r can cover
  32.    C&B_t, whence by compactness of C&B_t the union of all such K_s's
  33.    leaves some point of C&B_t uncovered, the desired closest point.
  34.  
  35. Or how 'bout:
  36.  
  37. Let  t  be the distance of some point of  C  from  x  and let  B  be
  38. the closed ball of radius  t  centered at  x.   B intersect C is
  39. compact and the restriction of the "distance from x" function to this
  40. compact set is continuous, hence attains a minimum.  That minimum
  41. distance is at most  t, which is certainly less than the distance from
  42. x to the any point outside of  B.
  43.  
  44.  
  45. --
  46. Gary A. Martin, Assistant Professor of Mathematics, UMass Dartmouth
  47. Martin@cis.umassd.edu
  48.