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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17889 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1993-01-09  |  2.4 KB  |  59 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!paladin.american.edu!gatech!udel!princeton!fine.princeton.edu!tao
  3. From: tao@fine.princeton.edu (Terry Tao)
  4. Subject: Re: proof wanted 2
  5. Message-ID: <1993Jan9.193759.3671@Princeton.EDU>
  6. Originator: news@nimaster
  7. Sender: news@Princeton.EDU (USENET News System)
  8. Nntp-Posting-Host: math.princeton.edu
  9. Organization: Princeton University
  10. References: <1993Jan8.195646.1694@cc.umontreal.ca> <1ikq9eINNmue@roundup.crhc.uiuc.edu>
  11. Date: Sat, 9 Jan 1993 19:37:59 GMT
  12. Lines: 45
  13.  
  14. In article <1ikq9eINNmue@roundup.crhc.uiuc.edu> hougen@focus.csl.uiuc.edu (Darrell Roy Hougen) writes:
  15. >cazelaig@ERE.UMontreal.CA (Cazelais Gilles) writes:
  16. >
  17. >
  18. >%                                                        n
  19. >% Is it true that if  C  is a nonempty closed subset of R  and x is a point
  20. >% not in  C  that there exists a point c in C that is closest in C to x.
  21. >%  
  22. >% i.e. such that:   |x-c'| % = |x-c| for all c' in C.
  23. >
  24. >I'm a little rusty on analysis, but ..., intuitively, the closest
  25. >point to x in C must be on the boundary of C which is no problem if C
  26. >is closed.
  27. >
  28. >More precisely, if there were no closest point to x in C, that would
  29. >imply that given any point c in C, one could find a point c'' in C
  30. >that was closer to x.  Therefore, one could construct a sequence of
  31. >points in C such that each point was closer to x than its predecessor
  32. >but whose limit point was not in C.  But, if C is closed, then it
  33. >contains all of its limit points, so there exists c' as defined above.
  34. >
  35. >Note that c' need not be unique.  For c' to be unique, you need
  36. >convexity of C.
  37. >
  38. >Darrell R. Hougen
  39.  
  40. I think this proof needs a bit of tightening up - after all, I can think of
  41. some sort of "spiral" sequence of points which get closer and closer to x
  42. though perhaps staying always a given distance away from x at least, but
  43. have more than one limit point.
  44.  
  45. also Darrel's sequence of c's have to satisfy |x - c_i| --> inf_{c \in C}
  46. |x - c| for the argument to work.
  47.  
  48. However, the sequence Darrell mentioned is contained inside a closed ball,
  49. which is a compact set, so there must be at least one accumulation point,
  50. and this point is in C, as C is closed.  Taking limits you should get the
  51. result.
  52.  
  53. Is the result true for any metric space?  I don't think the space of
  54. l^2 sequences will work, if you take the set composed of elements which are
  55. 0 everywhere except at one place where they are 1...
  56.  
  57. Terry
  58.  
  59.