home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17828 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-08  |  2.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!mcsun!julienas!seti!ausone.inria.fr!menissie
  2. From: menissie@ausone.inria.fr (Valerie Menissier-Morain)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: sum(i=1 to n, i^3) = ??   URGENT !!
  5. Message-ID: <4820@seti.inria.fr>
  6. Date: 8 Jan 93 10:37:40 GMT
  7. References: <1993Jan7.145215@imhfhp16.epfl.ch> <8979@lhdsy1.lahabra.chevron.com>
  8. Sender: news@seti.inria.fr
  9. Organization: INRIA * Rocquencourt BP 105 * F-78153 LE CHESNAY CEDEX* France
  10. Lines: 42
  11.  
  12. In article <8979@lhdsy1.lahabra.chevron.com>, jgrij@lhdsy1.lahabra.chevron.com (Joey J. Griffin) writes:
  13. |> 
  14. [deleted]
  15. |> 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + 3 + ... n) ^ 2
  16. |>        Proof by induction.
  17. -- 
  18.  
  19. In fact there is a very beautiful geometrical proof of this assertion:
  20.  
  21.         If you consider two squares with each side of length
  22.         (1+2...+(n-1)) and (1+2+...+n), the difference of the surfaces
  23.         of these two squares is exactly n^3 as on the following
  24.         figure:
  25.  
  26.               ------------------------
  27.               |/ / / / / / / / / / / |
  28.               |/ / / / / / / / / / / |
  29.               |/ / / / / / / / / / / |
  30.             n |/ / / / / / / / / / / |
  31.               |/ / / / / / / / / / / |
  32.               |/ / / / / / / / / / / |
  33.               |/_/_/_/_/_/ / / / / / |
  34.               |         |\ \ \ \ \ \ |
  35.               |         |\ \ \ \ \ \ |
  36. (1+2+...+n-1) |         |\ \ \ \ \ \ |
  37.               |         |\ \ \ \ \ \ |
  38.               |_________|\_\_\_\_\_\_|
  39.  
  40.              (1+2+...+n-1)    n
  41.  
  42.         The difference of the two surfaces is: 
  43.  
  44.                 n*((1+...+n-1)+n) (the upper rectangle / / /)
  45.         +       (1+...+n-1)*n     (the lower rectangle \ \ \)
  46.         =       n*(2*(1+...+n-1)+n) = n^3
  47.  
  48. ------------------- Vale'rie ME'NISSIER - MORAIN -----------------------------
  49. INRIA Projet Formel                    Tel: (33 1) (16 1) 39 63 55 98
  50. Domaine de Voluceau                        Fax: (33 1) (16 1) 39 63 53 30
  51. 78153 Rocquencourt                 e-mail: menissie@margaux.inria.fr
  52. BP 105
  53. ------------------------------------------------------------------------------
  54.