home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17789 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-07  |  2.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!pipex!doc.ic.ac.uk!uknet!comlab.ox.ac.uk!mbeattie
  2. From: mbeattie@black.ox.ac.uk (Malcolm Beattie)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: homotopy groups for products of spheres into unitary groups
  5. Message-ID: <1993Jan7.133836.22165@black.ox.ac.uk>
  6. Date: 7 Jan 93 13:38:36 GMT
  7. References: <TRAHERN.93Jan6115340@telperion.ssc.gov>
  8. Distribution: sci.math
  9. Organization: Oxford University Computing Service, 13 Banbury Rd, Oxford, U
  10. Lines: 49
  11. Originator: mbeattie@black
  12.  
  13. In article <TRAHERN.93Jan6115340@telperion.ssc.gov> trahern@fremont.ssc.gov writes:
  14. >
  15. > I would like to know if there are results for the homotopy group for
  16. >the following class of mappings:
  17. >
  18. > The map of the cartesian product of a two sphere and a three sphere
  19. >(S2xS3) into the unitary groups U(N). 
  20. >
  21. > I know that the 5th homotopy group of U(N) is the set of integers, Z,
  22. >for N > 2, but I do not know how to find the results (if they exist)
  23. >for maps which are not just spheres. 
  24. >
  25. > An integral which I believe is a representative of this homotopy
  26. >group arises in a physics problem I am thinking about, and if there
  27. >are general results, I would appreciate knowing them. 
  28. >
  29. > Please send replies by email to trahern@fremont.ssc.gov (or to the net).
  30. >
  31.  
  32. It is not clear to me exactly what you are after: information
  33. about the mapping space itself from S^2 x S^3 to U(N) or about
  34. classifying maps from S^2 x S^3 to U(N). I'll say something about
  35. the latter. Ignoring a couple of minor technicalities, you can
  36. consider the cofibre sequence
  37. S^2 v S^3 ---> S^2 x S^3 ---> S^2 ^ S^3 ---> S(S^2 v S^3) --> ...
  38. where `v' is wedge, `^' is smash
  39. and this sequence can be written as
  40. S^2 v S^3 ---> S^2 x S^3 ---> S^5 ---> S^3 v S^4 ---> ...
  41. Now look at the long exact sequence obtained by applying
  42. [-,U] (abbreviating U(N) to U) and you get an exact sequence of groups:
  43. pi_3(U) x pi_4(U) ---> pi_5(U) ---> [S^2 x S^3,U] ---> pi_2(U) x pi_3(U)
  44.  
  45. If I could remember off-hand the homotopy groups of U(N) then
  46. I could go a bit further but I can't so I won't.
  47. If you post a bit more about what information you're after,
  48. I'll try and help a bit more.
  49.  
  50. --Malcolm
  51.  
  52. > thanks, 
  53. >
  54. > garry trahern
  55.  
  56.  
  57. -- 
  58. Malcolm Beattie <mbeattie@black.ox.ac.uk> | I'm not a kernel hacker
  59. Oxford University Computing Services      | I'm a kernel hacker's mate
  60. 13 Banbury Road, Oxford, OX2 6NN (U.K.)   | And I'm only hacking kernels
  61. Tel: +44 865 273232 Fax: +44 865 273275   | 'Cos the kernel hacker's late
  62.