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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17726 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-06  |  2.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!usc!sol.ctr.columbia.edu!destroyer!cs.ubc.ca!unixg.ubc.ca!unixg.ubc.ca!israel
  2. From: israel@unixg.ubc.ca (Robert B. Israel)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Cantor set problem
  5. Date: 6 Jan 93 00:18:58 GMT
  6. Organization: The University of British Columbia
  7. Lines: 38
  8. Message-ID: <israel.726279538@unixg.ubc.ca>
  9. References: <C0EB3o.Kzy@undergrad.math.waterloo.edu>
  10. NNTP-Posting-Host: unixg.ubc.ca
  11.  
  12. In <C0EB3o.Kzy@undergrad.math.waterloo.edu> cmspring@undergrad.math.waterloo.edu (Colin Springer) writes:
  13.  
  14.  
  15. >I'd be interested in any solutions or references anyone might find for the
  16. >following problem which I've been thinking about recently.
  17.  
  18. >Problem:  Consider the subset of the plane formed by starting with the Cantor
  19. >set placed on the interval [0,1], and for any two points a, b in this set
  20. >we construct the circle centered at a passing through b.  Does this set have
  21. >measure zero?
  22.  
  23. Almost certainly it doesn't.  If E is the Cantor set, this set is the
  24. image of E x E x [0,2pi) under the map (x,y,t) -> x + (y-x)exp(it)
  25. (considering the plane as the complex numbers).  E x E x [0,2pi] has
  26. Hausdorff dimension greater than 2, so it's likely that the image
  27. has positive 2-dimensional measure.  I don't have a proof, though.
  28. What I can say is that the interval [-1,2] is contained in your set
  29. (for t = pi, (2E) - E = [-1,2]). 
  30.  
  31. >If this were the case we could use this set as a "blanket" which could be
  32. >translated to cover any given circle of radius at most 1, and was of measure
  33. >zero.  Such a "blanket" can be formed to cover rectangles of arbitrary
  34. >dimensions, but I'm not sure if it's possible.  The above construction is my
  35. >best guess: if it doesn't work, I'd be interested in any other possible
  36. >construction, with proof if possible.
  37.  
  38. I.e. (E x [0,1]) union ([0,1] x E) is a set of 2-dimensional measure 0 
  39. containing rectangles of arbitrary dimensions <= 1.
  40.  
  41. >Have fun with it!
  42.  
  43. >Colin
  44.  
  45. -- 
  46. Robert Israel                            israel@math.ubc.ca
  47. Department of Mathematics             or israel@unixg.ubc.ca
  48. University of British Columbia
  49. Vancouver, BC, Canada V6T 1Y4
  50.