home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / sci / math / 17679 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-05  |  4.6 KB
  1. Xref: sparky sci.math:17679 rec.puzzles:8210
  2. Path: sparky!uunet!usc!celia!keith
  3. From: keith@celia.UUCP (Keith Goldfarb)
  4. Newsgroups: sci.math,rec.puzzles
  5. Subject: Re: Marilyn Vos Savant's error?
  6. Message-ID: <2156@celia.UUCP>
  7. Date: 5 Jan 93 07:01:04 GMT
  8. References: <1gj5grINNk05@crcnis1.unl.edu> <1992Dec15.012404.24027@galois.mit.edu> <1992Dec15.052211.24395@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> <1992Dec15.063213.11742@bnr.ca>
  9. Reply-To: keith@rhythm.com (Keith Goldfarb)
  10. Organization: Rhythm & Hues, Inc., Hollywood
  11. Lines: 89
  12.  
  13. Why do these simple probability problems always cause so much trouble?
  14. This should all be in the FAQ's.  Perhaps we should even avoid discussion
  15. of any English language problem.
  16.  
  17. If these problems are translated into any sort of rigid language, then
  18. we would all be in agreement.  Why should we go on arguing with each
  19. other when we are each solving different problems?
  20.  
  21. Having said that, here are my 2 cents about all of this:
  22.  
  23.     "A man walks up to you and says that he has two children, at
  24.     least one of which is a boy.  What are the chances that the man
  25.     has two boys?"
  26.  
  27. Now, the common interpretation of this is:
  28.  
  29.     From the space of all two-children families where at least
  30.     one of the children is a boy, what is the probability that
  31.     a randomly chosen family will be one with two boys?
  32.  
  33. What I'm getting at is that in the problem we aren't supposed to
  34. take it at face value, but rather convert it to something we
  35. can work with.  (After all, in the original text, the man's children
  36. are already born, so either he has two boys or he does not, so the
  37. "chances" are either 0 or 1, we don't know which!  But that's silly,
  38. since it's the probability interpretation that is meant.)
  39.  
  40. In this case, things are pretty much in agreement.  But if we go further:
  41.  
  42.     "A man walks up to you and says that he has two children, the
  43.     oldest one of which is a boy.  What are the chances that the man
  44.     has two boys?"
  45.  
  46. Now we get into trouble.  Many people interpret this as:
  47.  
  48.     From the space of all two-children families where the oldest
  49.     one of the children is a boy, what is the probability that
  50.     a randomly chosen family will be one with two boys?
  51.  
  52. Which gives the often quoted result of 50%.  But some people don't 
  53. think of it this way.  They don't see the man who has walked up to
  54. them as making any "choice" from any "space".  Rather, he has
  55. been blessed with two children, and he is particularly fond of 
  56. telling us something about them.  Since we don't know why he
  57. has chosen to tell us this information, we can't be certain of
  58. the situation.  But a common and reasonable assumption is that
  59. he is the type who likes puzzles and so he is telling us just
  60. to ask us the probability.  This, like the Monty Hall problem,
  61. can lead us to produce several different interpretations of his
  62. motives and therefore of the event.
  63.  
  64. An interpretation of his motives that seems to be very common is:
  65.  
  66.     "A man walks up to you and says that he has two children, at
  67.     least one of which is a boy.  He has the characteristic that
  68.     if he had exactly one boy and one girl, he'd mention which of
  69.     them (older or younger) was the boy.  But if he had two boys,
  70.     he'd flip a coin to decide which one to mention, older or
  71.     younger.  On this occasion, he says that the older child is a
  72.     boy.  What are the chances that the man has two boys?"
  73.  
  74. This, interpreted, becomes:
  75.  
  76.     From the space of all two-children families where at least
  77.     one of the children is a boy, a family is chosen at random.
  78.     If the older child is a girl and the younger is a boy, then
  79.     the trial is voided.  If both of the children are boys, then
  80.     a coin is flipped and if it comes up heads then the trial
  81.     is voided.  Of the trials which are not voided, what percentage
  82.     of them occur with a family of two boys?
  83.  
  84. This gives the 1/3 result.  By modifying the man's strategy, you
  85. can produce other probabilities.
  86.  
  87. Another way to look at this is that the reader has assumed that
  88. the sample space will be "all two-children families where at least
  89. one of the children is a boy" and then after a selection is made,
  90. more information about that family is presented.  Some people
  91. think of that additional information as reducing the sample
  92. space, and some think of it simply as providing information
  93. about a particular trial.  Without looking inside the speaker,
  94. there is no way to determine which is the "correct" interpretation.
  95.  
  96. K.
  97. -- 
  98. Keith Goldfarb              Rhythm & Hues               Claudia is Everywhere.
  99. keith@rhythm.com            celia!keith@usc.edu         ...mlogic!celia!keith  
  100. I got nothing.  Too bad.                                Some pink toes
  101. But I'm happy 'cause that's all I have.                 Some black toes
  102.