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/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / comp / graphics / 13685 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-12  |  2.2 KB
  1. Path: sparky!uunet!vnet.ibm.com
  2. From: capelli@vnet.ibm.com (Ron Capelli)
  3. Message-ID: <19930112.092511.683@almaden.ibm.com>
  4. Date: Tue, 12 Jan 93 10:58:31 EST
  5. Newsgroups: comp.graphics
  6. Subject: Re: Area of a parametric patch
  7. Disclaimer: This posting represents the poster's views, not those of IBM
  8. News-Software: UReply 3.1
  9. References: <gln.726347504@brutus>
  10. Lines: 46
  11.  
  12. In <gln.726347504@brutus> Glen Niebur writes:
  13. >I have an application where i need to find the area of a bicubic Coons
  14. >patch.  Is there a straight forward method to do this, or is it better
  15. >to approximate it by subdividing the batch into rectangles, and finding
  16. >the area of the rectangles?
  17. >
  18. >Any references to equations or algorithms would be appreciated.
  19. >
  20. An old but classic reference paper for this is:
  21. G.J.Peters, "Interactive computer graphics application of the
  22. bi-cubic parametric surface to engineering design problems",
  23. 1974 NCC, AFIPS Press, pp.491-511.
  24.  
  25. Using Gauss-Legendre quadrature, a numerical solution for the area
  26. of a bi-cubic patch can be found more accurately and efficiently
  27. than tiling the patch into rectangles or triangles.
  28.  
  29. The area of a parametric surface patch is, precisely:
  30.  
  31.         /1 /1                           /
  32.     A = \  \  |N(u,v)| du dv            \ is attempt at integral sign.
  33.         /  /                            /
  34.          0  0
  35.  
  36. where N(u,v) is the surface normal at parametric coordinates (u,v),
  37. typically from the cross-product of the partial derivative vectors
  38. of the surface function with respect to u and with respect to v at
  39. the point.  |N(u,v)| is the magnitude of the normal vector.
  40.  
  41. Using an M-point quadrature, the area can be approximated using:
  42.  
  43.          M   M
  44.     A = SUM SUM ( gi * hj * |N(ui,vj)| )
  45.         i=1 j=1
  46.  
  47. where gi and hj are the M-point quadrature formula weights, and
  48. ui and vj are the Gaussian roots.
  49.  
  50. Many books on numerical methods cover Gaussian quadrature, providing
  51. Tables of roots and weights, or definition of Legendre polynomials
  52. from which the roots and weights are derived.
  53. _______________________________________________________________________
  54.  
  55. ...Ron Capelli                 IBM Corp.  Dept. C13,  Bldg. 703-2
  56.    capelli@vnet.ibm.com        PO Box 950
  57.    (914) 435-1673              Poughkeepsie, NY  12602
  58.